Стислі теоретичні відомості

    При визначенні струмів і напруг в окремих гілках кола з n _в - гілками за законами Кірхгофа в загальному випадку необхідно вирішити систему з n _врівнянь. Для зниження кількості вирішуваних рівнянь і спрощення розрахунків використовують методи контурних струмів і вузлової напруги.       

    Метод контурних струмівдозволяє понизити кількість вирішуваних рівнянь до кількості незалежних контурів, визначуваних рівністю: n_к = n _в – n _у + 1. У його основі лежить введення в кожен контур умовного контурного струму I_k, напрям якого зазвичай вибирають співпадаючим з напрямом обходу контуру. При цьому для контурного струму будуть вірні закон струмів Кірхгофа (ЗСК) і закон напруги Кірхгофа ( ЗНК). Зокрема, для кожного з виділених контурів можна скласти рівняння по ЗНК. Пояснимо сутність методу контурних струмів на прикладі резистивного кола, схема якого зображена на рис. 5.1.

Рисунок 5.1

    Для контурних струмів I _к1 першого і I _к2 другого контуру цієї схеми можна записати рівняння по ЗНК у вигляді

                                                           (1)

    Перенесемо U _Г1і U _Г2в праву частину системи і отримаємо так звану канонічну форму запису рівнянь за методами контурних струмів:                                                              

                                                                         (2)

де R ₁₁ = R ₁ + R ₃; R ₂₂= R ₂ + R ₃ називають власними або контурними опорами 1-го і 2-го контурів; R ₁₂ = R ₂₁ = R ₃ - взаємними опорами 1-го і 2-го контурів; U _к1 = U _Г1, U _к2 = U _Г2 – контурними задавальними напругами. Дійсні струми в гілках находяться як алгебраїчна сума контурних струмів: I ₁ = I _к1; I ₂ = I _к2; I _з  = I _к1 + I к₂.

    У загальному випадку, якщо резистивне коло містить k незалежних контурів, система рівнянь має вигляд 

                                                       (3)

    Доданки R_lnI_kn у рівнянні (3) беруться із знаком «+», якщо струми I_кl и I_кn обтікають R_ln в одному напрямку і із знаком «–» в іншому. Контурна задавальна напруга U _кдорівнюєалгебраїчній сумі задавальної напруги джерел, що входять в кожен контур. Із знаком «+» сумуються джерела, задавальна напруга яких напрямлена назустріч контурному струму, і із знаком «–», якщо напрям напруги і контурного струму співпадають.

    Розв’язуючи систему рівнянь (3), наприклад правилом Крамера, знайдемо значення контурних струмів:       

    I _к1 = D₁/D_R; I _к2= D₂/D_R; …; I _кк = D_к/D_R, де D_R - головний визначник системи (1):                             

                                          .                           (4)

    Визначник D_к знаходиться шляхом заміни к- гостовпця в (4) правою частиною системи (3). Наприклад, для D₁маємо: 

                                          .                          (5)

         Якщо в схемі окрім джерел напруги міститься п _т гілок з джерелами струму, то незалежні контури вибираються так, щоб джерело струму входило тільки в один контур. Це можна зробити, якщо вибрати дерево графа кола таким, щоб джерело струму входило в одну з хорд. Число контурних рівнянь при цьому зменшується до

                                     n _к = n _в – n _у + 1 – п _т.                             (6)

    Напруги від задавальних струмів цих джерел враховуються в лівій частині системи (3) на взаємних опорах, які ці струми обтікають.    Сформульовані вище правила складання рівнянь за методом контурних струмів вірні і у разі залежних джерел напруги ДНКН і ДНКС.