Рівняння передачі однорідної лінії

Первинні параметри. Довгі лінії можуть мати різноманітну конструкцію. Так, двохпровідна повітряна лінія складається з паралельних неізольованих проводів, укріплених за допомогою ізоляторів на спеціальних опорах. Симетричне кабельне коло є двома ізольованими скрученими один з одним дротами, які створюють так звану пару. Скручені між собою пари (або четвірки), поміщені в металеву або пластмасову захисну оболонку, утворюють симетричний кабель.

Електричні властивості довгої лінії характеризуються первинними параметрами, тобто параметрами, віднесеними до одиниці довжини лінії (1 км в лініях дротяного зв'язку і 1 м в лініях радіозв'язку). Первинними параметрами є: резистивний опір одиниці довжини лінії R _0,індуктивність одиниці довжини лінії L _0,ємність одиниці довжини лінії С ₀ і провідність ізоляції одиниці довжини лінії G ₀.

Опір R ₀– це опір проводів лінії одиничної довжини. Наприклад, опір проводів двохпровідної повітряної лінії на постійному струмі на одиницю довжини дорівнює

Ом/км (1)

де r – питомий опір матеріалу проводів при температурі t ^o = 20°С, Ом×мм²/м; l – довжина лінії, м; S – площа поперечного перетину дроту, мм²; r – радіус проводу, мм.

При температурах, відмінних від 20°С, опір проводів зростає і обчислюється за формулою

R_t ^o = R ₀[1 + s_t (t ^o – 20 °)], (2)

де s_t— температурний коефіцієнт, 1/град; t ^o – температура, °С. Наприклад, опір двохпровідної мідної лінії довжиною 1 км (кілометричний опір) з проводів діаметром 4 мм при температурі t ^o = 20°С для частоти f = 0 складає 2,84 Ом/км.

Наявність поверхневого ефекту (витіснення струму з внутрішніх шарів провідника на його поверхню при збільшенні частоти) приводить до збільшення опору R із зростанням частоти.

Індуктивність L ₀визначається відношенням магнітного потоку, що з’єднується з контуром одиничної довжини, до струму, що викликає цей потік. Індуктивність лінії складається із зовнішньої і внутрішньою індуктивностей. Перша визначається геометричними розмірами лінії і не залежить від частоти; друга залежить від матеріалу проводів, їх діаметру і частоти.

Індуктивність двохпровідної повітряної лінії на одиницю довжини при змінному струмі визначається за формулою

L ₀ = Гн/км. (3)

де а – відстань між осями проводів, r – радіус проводу, Q (x) – коефіцієнт, якій враховує внутрішню індуктивність лінії, m – магнітна проникність матеріалу проводів.

Ємність С визначається відношенням заряду, який приходиться на одиницю довжини лінії, до напруги між проводами лінії.

Для двохпровідної лінії ємність на одиницю довжини (Ф/км) визначається за формулою

С ₀ = , Ф/км, (4)

де e – діелектрична проникність речовини в просторі між проводами; l _пр– відстань між осями проводів. Наприклад, кілометрична ємність повітряного двохпровідного мідного кола (для повітря e = 1) із проводів діаметром 2r = 4 мм і відстанню між проводами l _пр = 200 мм складає 7,4 нФ/км.

Провідність G ₀обумовлена недосконалістю ізоляції і є активною складовою провідності ізоляції між проводами, віднесену до одиниці довжини лінії. Для повітряної лінії провідність ізоляції залежить від кліматичних умов (вологості, температури та ін.), чистота поверхонь ізоляторів і т. д.

Провідність ізоляції зростає із зростанням частоти (особливо для кабельних кіл) за рахунок збільшення втрат в діелектрику. Для повітряних кіл провідність

G ₀ = G ¢ + k _п f, См/км, (5)

де G – провідність ізоляції на постійному струмі; k _п – коефіцієнт, що враховує втрати в діелектрику при змінному струмі; f – частота.

Після введення первинних параметрів можна уточнити поняття однорідної довгої лінії. Однорідною називається така лінія, первинні параметри якої незмінні на всій її довжині.

Рівняння передачі однорідної лінії. Знайдемо розподіли напруги і струму в лінії по її довжині і в часі.

Виділимо елементарну ділянку лінії довжиною D х, що знаходиться на відстані х від початку лінії (рис. 12.1). Її еквівалентну схему можна приблизно представити у вигляді послідовно включених опору R D x і індуктивності L D x і паралельно включених активній провідності G D x і ємності С D х.

Таким чином, лінія розглядається як коло з нескінченною кількістю ланок, електричні параметри яких нескінченно малі. При прагненні D х до нуля точність такого уявлення зростає. Напруга і струми, їх зміни на ділянці лінії показані на рис. 12.1. Зменшення напруги Рисунок 12.1 в кінці ділянки лінії D х в порівнянні з його початком викликане падінням напруги на індуктивності L D х і опорі R D х. Тому

– D и = L D x + R D хi. (6)

Тут і далі використовуються приватні похідні, оскільки напруга і струм є функціями змінних t і х.

Зменшення струму на ділянці D x відбувається за рахунок відгалуження струму через ємність С D x Dі провідність ізоляції G D x. Нехтуючи зміною напруги як величиною другого порядку меншості, можна написати

– D i = C D x + G D хu. (7)

Розділивши обидві частини рівнянь (6) і (7) на D x: і перейшовши до межі при D x ®0, отримаємо диференціальні рівняння лінії:

(8)

Ці рівняння називаються телеграфними, оскільки вперше були отримані для лінії телеграфного зв'язку.

Вважатимемо, що в лінії має місце режим сталих гармонійних коливань. Оскільки закон зміни напруг і струмів в часі відомий, то із диференціальних рівнянь (8) залишається знайти лише закони зміни амплітуд і фаз напруг і струмів з відстанню х.

Використовуючи символічний метод аналізу гармонійних коливань при розв’язанні системи телеграфних рівнянь (8), в результаті отримаємо рівняння для визначення комплексних амплітуд напруги U _x і струму I _x в довільній точці х довгої лінії

(9)

де і – напруга і струм на початку лінії. Це і є рівняння передачі однорідної довгої лінії. Параметри і отримали назву коефіцієнта поширення і хвилевого опору лінії: