Пусть имеется некоторая игра с матрицей A=
A+5 A1=
Предположим, что все стратегии рабочие. Составляем систему уравнений:
7t1 + 2t2 + 9t3 - z1 = 1
2t1 + 9t2 - z2 = 1
9t1+11t3 - z3 = 1
Решение этих уравнений при условии t1 + t2 + t3 min:
t1 = 0,05
t2 = 0,1
t3 = 0,05
v(A1) == 5 p1=0,05*5=0,25
p2=0,1*5=0,5
p3=0,05*5=0,25
v(A)=v(A1) - 5=0 игра справедливая. Найдём стратегию второго игрока:
q1* + q2* + q3* = 1
2q1 + 9q2 = 5 q1=q3=0,25
9q1 + 11q3 =5 q2=0,5
Графическое решение игр 2*n и m*2
Рассмотрим игру (2*n) с матрицей
A=
Выигрыш 1-го игрока H(p,yk)=p1a1k + p2a2k = p1a1k + (1-p1)a2k,
На плоскости такая зависимость изображается отрезком прямой, причем при p=0 H(p,yk)=a2k, p=1 H(p,yk)=a1k
Таким образом, получаем семейство из n прямых:
Исходя из условия гарантированного выигрыша, его величина при разных значениях р будет определяться нижней границей множества этих прямых. Очевидно, что оптимальная стратегия соответствует той точке полученного множества, в которой значение функции максимально, а само это максимальное значение есть значение игры.
Рабочими стратегиями 2-ого игрока являются в данном случае 3я и 4я, а значит, оптимальная стратегия 1-ого игрока определяется из системы уравнений:
|
|
q3 + q4 = 1
a23q3 + a24q4 = v
Рассмотрим теперь игру (m*2) с матрицей
Эту игру удобно рассматривать для второго игрока. Как и в предыдущем случае, строится семейство из m отрезков прямых, отображающих зависимость величины функции выигрыша 2го игрока от выбираемой им стратегии:
Н(xi,q)= ai1q + ai2(1-q), ,
Исходя из разумности поведения 1-ого игрока, проигрыш 2-ого определяется верхней огибающей семейства этих прямых. Значения q* и v находятся как абсцисса и ордината нижней вершины огибающей, а затем оптимальная стратегия 2-ого игрока определяется исходя из его рабочих стратегий (в данном случае рабочими стратегиями 2-ого игрока являются xr и xe), аналогично предыдущему случаю.
Во всех этих случаях число рабочих стратегий обоих игроков одинаково.