Элементы дифференциального и интегрального исчисления

Функции и графики.

Текстовые алгебраические задачи.

Введение.

В конце 19 века – начало 20 века возникло движения за реформу математического образования в школе. В частности прилагалось ввести элементы математического анализа. В 30 – 40 годах преподавание математики проводится по сокращенным программам начала века. В 1947 году публикуется проект программ в котором есть элементы математического анализа. В 1949 году теория пределов изучалась в 9 классе. Однако осуществление этого проекта стало невозможным т.к. подготовка была не достаточна (нет учебника, учителя были не подготовлены). В 60 годы были разработаны новые программы для школ. В школе изучается в 9 классе, а затем в 10:

1) Бесконечные последовательности и их пределы;

2) Предел функции;

3) Производная и применение производной;

4) Первообразная и интеграл;

5) Приложение элементов интегрального исчисления к вычислению площади криволинейной трапеции;

6) В геометрии одновременно применялось интегральное исчисление для вычисления объемов тел;

7) Простейшие дифференциальные уравнения.

Программа не предлагала выработки навыков и техники дифференцирования сложных функций, систематизации примеров и методов интегрирования. И тем более не предполагали приемов решения дифференциальных уравнений, но требовало воспитания у учащихся правильного взгляда на сущность математического анализа и возможности иго применения в практике.

Следует отметить, что школы еще не имели опыта преподавания этого раздела математики. Практика показала, что последовательности, предел последовательности, предел функции этот материал труден для школьников, каждые последующие учебники сокращали, упрощали материал перечисленных тем. В настоящее время перечисленные темы остались только в математических классах.

Производна в школьном курсе математики.

Цель курса алгебры и начала анализа состоит в том, чтобы в ходе изучения элементов высшей математики раскрыть перед учащимися политехническое, прикладное значение общих методов, изучаемых в данном разделе и изучить необходимый материал для изучения геометрии и физики. В результате изучения темы учащиеся должны знать определения производной правила нахождения производных суммы, произведения, частного, знать формулы производных функций.

Применение производной в школьном курсе.

Производная дает богатый материал для решения задач по математике:

1) Касательная к графику;

2) Приближенные вычисления;

3) Производные в физике и технике;

4) Применение производных к исследованию функций.

Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений – важнейший раздел школьного курса математики. Этот материал изучается и для тригонометрических, обратных тригонометрических, степенных, показательных, логарифмических и других функций.

Этот материал имеет большое прикладное значение не только в математике, но и в физике, химии. Изучение данной темы вызывает методические трудности в связи с тем, что теорема о непрерывности функции на отрезке и что в этом случае она там принимает свое наибольшее и наименьшее значение не входит в рами школьного курса.

Возникает методическая задача отбора необходимого минимума учебного материала, нахождение вариантов доказательств теорем, которые были доступны школьникам, выбора примеров. Сообщаемые школьникам примеры и задачи не должны быть обращены в процесс продолжения обучения. Это необходимое сочетание доступности и кратности изложения с отсутствием вульгаризации и создает значительные методические трудности.

Методика изучения элементов интегрального исчисления.

В учебной и методической литературе встречаются разные подходы к изложению вопросов интегрального исчисления.

Рассмотрим общепринятый подход принятый в большинстве действующих учебниказ:

1) Первообразная функции;

2) Определенный интервал. Через площадь криволинейной трапеции;

3) Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Такой порядок изучения тем более всего соответствует школьной программе. Понятие первообразной функции естественным образом связывается с вопросами дифференциального исчисления, а возможность применения первообразной к вычислению площадей и объемов дает богатый материал для решения задач.

Опр. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется условие: F’(x)=f(x).

При изучении теоремы площадь криволинейной трапеции основной упор надо делать на имеющиеся у учащихся интуитивные представления о площади.

Для школьников достаточно чтобы они могли воспроизвести рассуждения о разбиении криволинейной трапеции на n отрезков, и если величина самого большого отрезка будет минимальной, то площадь криволинейной трапеции складывается из площадей прямоугольников и сумма этих площадей близка к площади криволинейной трапеции.

Материал пункта носит не строгий характер, потому что понятие площадь в школьном курсе строго не определена. По программе методы интегрирования рассматриваются только в математических классах, поэтому интеграл от сложной функции идет для школьников как материал со *.