Одномерное течение

Ламинарное течение в трубах.

При движении жидкости по трубам основные изменения скорости и ускорения происходят вдоль оси трубопровода.

Изменение параметров вдоль двух других координат можно считать пренебрежимо малыми.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d=2r₀. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне стабилизировался, выделим отрезок длиной между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 5.6).

Рис. 5.6. К теории ламинарного течения жидкости в трубе.

Пусть в сечении 1-1 давление равно р₁, а в сечении 2-2 – р₂. Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент будет неизменным вдоль потока вследствие его стабильности, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид

где - потеря напора на трение по длине.

Отсюда

что и показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через , получим

Откуда

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 5.6 слева (эта эпюра не зависит от режима течения).

Выразим касательное напряжение по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости (см.1.12): при этом заменим переменное y (расстояние от стенки) текущим радиусом r:

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки).

Подставляя значение в предыдущее уравнение, получаем

Найдем отсюда приращение скорости

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис. 5.6.

Выполнив интегрирование, получим

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке

при r = r₀,

Тогда

Скорость по окружности радиусом r равна

. (5.5)

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей – парабола второй степени.

Максимальная скорость в центре сечения (при r=0) будет

(5.6)

Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (5.5) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS

Здесь есть функция радиуса, определяемая формулой (5.5), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиуса r и шириной dr, тогда

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от

r = 0 до r = r₀, получим

(5.7)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (5.7) получим

. (5.8)

Сравнение этого выражения с формулой (5.6) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напорана трение через расход и размеры трубы, определимиз формулы (5.7)

Разделив это выражение на , заменив на и на , а также перейдя от r₀ к d = 2 r₀, получим

. (5.9)

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубке круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу, длине и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон (закон Пуазейля), используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Ранее условились выражать потери напора на трение через среднюю скорость по формуле (5.2). Приведем закон сопротивления (5.9) к виду формулы Вейсбаха – Дарси.

Для этого в формуле (5.9) заменим расход выражением; умножив и разделив на и перегруппировав множители, после сокращения получим

или, приведя к виду формулы (5.2), окончательно найдем

, (5.10)

где - коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

. (5.11)

Таким образом потеря напора на трение по длине при ламинарном течении пропорциональна скорости в первой степени, а коэффициентобратно пропорционален Re.

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы, легко найти коэффициент Корнолиса , учитывающий неравномерность распределения скоростей по поперечному сечению.

Коэффициент Кориолиса определяется выражением