Числовые кольца, поля

Рациональные числа

Целые числа

Решение уравнений вида a+x=b приводит к получению целых чисел Z. При этом следует отметить, что уравнение a+c+x=b+c имеет то же самое решение. На множество целых чисел естественным образом переносятся операции + и *, обладающими теми же самыми свойствами.

Решение уравнений вида a*x=b (a¹0) приводит к получению рациональных чисел Q. Уравнение a*c*x=b*c имеет то же самое решение. На множество рациональных чисел естественным образом переносятся операции + и *.

Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.

Любое числовое кольцо содержит 0.

Множество чётных чисел - кольцо без 1

Числовое кольцо, в котором разрешимо уравнение ax=b () называется числовым полем.

Теорема 1.2 В любом числовом поле содержится поле рациональных чисел.

Доказательство. Пусть - элемент этого поля. Тогда принадлежит полю, а значит в силу замкнутости относительно операции + и все натуральные числа. Поскольку уравнение a+x=b разрешимо для всех элементов поля, то в нём содержатся все целые числа. Аналогично, из разрешимости уравнения ax=b вытекает, что в поле содержатся все рациональные числа.

Кроме поля рациональных чисел существуют другие поля. Например: числа вида образуют числовое поле.