III. Непрерывность вещественных чисел

II. Сравнение вещественных чисел.

I. Сложение и умножение вещественных чисел

Основные свойства вещественных чисел.

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a + b и а · b, называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

1) a + b = b + a (переместительное свойство) — коммутативность сложения.

2) a +(b + c)=(a + b)+ c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения.

3) a · b = b · a (переместительное свойство) — коммутативность умножения.

4) a ·(b · c)=(a · b)· c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения.

5) (a + b)· c = a · c + b · c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

6) Существует единственное число 0 такое, что a +0= a для любого числа а.

7) Для любого числа а существует такое число - а, что а +(- а)=0.

8) Существует единственное число 1¹0 такое, что для любого числа а имеет место а ·1= а.

9) Для любого числа а ¹0 существует такое число a ^-1, что а · a ^-1=1.

Замечание: Числа - а и а ^-1 (противоположное и обратное) единственны.

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а = b, а > b или b > а (равенство или больше).

Отношение = обладает транзитивным свойством: если а = b и b = с, то а = с.

Отношение > обладает следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

10) Если а > b и b > с, то а > с.

11) Если а > b, то а + с > b + с.

12) Если а >0 и b >0, то а · b >0.

Вместо а > b пишут также b < a (меньше).

Запись а ³ b (или, что то же, b £ а) обозначает, что либо а = b, либо a > b.

Определение 4: Соотношения а < b, а £ b, a > b, a ³ b называются неравенствами.

Определение 5: Неравенства а < b, a > b называются строгими неравенствами. Неравенства а £ b, a ³ b называются нестрогими неравенствами.

Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а >0, называется положительным, неравенству а <0,— отрицательным, неравенству а ≥0,— неотрицательным, неравенству а ≤0,— неположительным.

13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел х Î Х и y Î Y выполняется неравенство х £ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства

х £ с £ у.

Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.

Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.

Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.