Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними

Theorems on approximation of real numbers by rational numbers

Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными

Между любыми не равными вещественными числами расположено бесконечно много рациональных чисел

" a, bÎ R a¹b Þ $ rÎ Q a < r < b.

Если два вещественных числа можно заключить между сколь угодно близкими рациональными числами, то эти вещественные числа равны:

" e >0 $ r, sÎ Q r < a, b <s Þ a = b

Всякое вещественное число можно заключить между сколь угодно близкими рациональными числами

"aÎ R " e >0 $ r, sÎ Q |r-s|< e Ù r <a< s.

3Если a < b, то Поэтому $ b Îи b Ï, т.е. bÎA ^¢. Могло бы оказаться, что b= a, однако, поскольку в нет наибольшего числа есть rÎ и r >b. Как и b rÎА ^¢, а потому a < r < b. Вставляя в образующиеся промежутки рациональные числа (по только, что доказанному) получим сколько угодно (но не более, чем счетное число) рациональных чисел заключенных между a и b 8

3От противного. Пусть в условиях теоремы a < b. Вставим между ними рациональные числа r ₁и r ₂ так что a < r ₁< r ₂< b. Тогда r< a < r ₁< r ₂< b < s Þ s-r> r ₂- r ₁>0.Для 0< e < r ₁- r ₂ это противоречит условию 0< s - r < e 8

3Если рациональное число e₀ такое, что 0< e ₀< e (оно есть в числе первой теоремы), то в соответствии с принципом Архимеда в множестве рациональных чисел для достаточно больших натуральных nÎ N и для произвольно взятого а Îимеем а + ne ₀ Î (при произвольном вещественном e, a +ne в общем не будет рациональным числом да и действия над вещественными числами еще не определены). Выберем минимальное из таких n (вполне упорядоченность N позволяет это сделать). Тогда либо a ^¢+(n -1) e ₀ Î так что можно взять r =a+(n- 1) e ₀ и s=a+ne₀, либо a +(n - 1) e₀ = a и нужные числа -x₀ r = a+ (n- 1) e ₀- e₀ /2 и S = a + (n-1) e ₀+ e ₀/24