Модель обмена и цены

Рассмотрим довольно реалистическую ситуацию. Пусть участников экономики имеют каж­дый уже какие-то наборы товаров. Это их частная собственность, охраняемая, кроме всего про­чего, законом. Все они пришли в «Дружбу», ходят по залам и присматриваются, как бы чего по­менять (известно, что такие рынки вполне могут существовать в военное время, например). При этом они законченные эгоисты, т.е. система предпочтений каждого, замкнута только на себя, на­бор соседа их интересует только с прицелом на возможный обмен (в этом одно из отличий от пре­дыдущей модели). Денег нет, только натуральный обмен. Легко понять, что такие обмены могут оказаться чрезвычайно выгодными обеим меняющимся сторонам. Классический пример самого А. Смита, когда дальнозоркий и близорукий имеют каждый не те очки, что надо, и в результате об­мена получат для себя ценнейшие вещи!

Подчеркнем, что пока люди ходят и присматриваются, прицениваются, обговаривают условия обмена, но обмена пока не совершают. Происходит, таким образом, пока обмен информацией. При этом условия сделок, вообще говоря, меняются. Но вот к 17:00 всё более-менее уже утряслось, ус­ловия сделок перестали меняться. Тогда совершаются все сделки, и люди расходятся.

Ясно, что окончательное распределение опять оптимально по Парето, но, кроме того, ни для одного участника оно не хуже первоначального, ибо обмены совершаются добровольно.

Пусть было у і-го участника, а – окончательное распределение, тогда . Но это еще не всё! Если есть коалиции, то они также могут влиять на обмены (простейший пример, когда члены одной семьи участвуют в обменах). Складывая вместе свои начальные ресурсы, члены коа­лиции могут реализовать для обмена любой набор товаров из своего суммарного запаса. Коали­ция значительно расширяет возможности ее членов для обмена. Если какой-то обмен окажется для коалиции не выгодным, то она участвовать в нем не будет, и этот обмен не состоится. Говорят в таком случае, что коалиция заблокировала этот обмен, вместе с тем и некоторое распределение, которое имело шанс быть окончательным.

Как и в случае кооперативной игры, можно определить ядро рынка (описанный рынок еще на­зывают экономикой частной собственности).

Ядром экономики (рынка) называется множество допустимых распределений, которые не бло­кируются никакой коалицией. По существу ядро представляет собой множество распределений, приемлемых для всех коалиций.

Математики нашли хорошие достаточные условия не пустоты ядра экономики частной собст­венности.

Теорема 1. Если предпочтения участников экономики непрерывны, то ядро не пусто, замкнуто и ограничено.

Условие непрерывности уже обсуждалось: непрерывность является достаточным условием для существования функции полезности.

В модели распределения конечное распределение должно быть оптимальным по Парето. В дан­ной рассматриваемой модели с частной собственностью это тоже имеет место.

При дальнейшем развитии математической теории в предположении большого количества уча­стников, что отвечает условиям практики удается доказать следующую теорему.

Теорема 2. Если предпочтения участников экономики непрерывны и перед обменом каждый участник имеет все товары, хотя бы в небольшом количестве, т.е. , то конечные распределе­ния существуют, т.е. ядро экономики не пусто; более того, допустимое распределение таково , т.е. может быть конечным, если и только если найдутся неотрицательные числа , не все равные нулю, и такие, что для всех и для любого дру­гого допустимого распределения , если , то для любого .

Теорема эта весьма сильная. Она устанавливает, что наступит ситуация равновесия и каждый участник «выжмет» из своего начального набора максимум полезности. При этом возникают особые числа , которые по смыслу являются ценами. Итак, теорема утверждает, что должна сложиться такая система цен , что если каждый участник продаст свой начальный набор по этим ценам, то на вырученные деньги он купит набор, являющийся наилучшим в смысле его системы предпочтений.