Пусть событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез):
В1, В2,..., Вn.
Известны априорные (доопытные) вероятности гипотез:
Р(В1), Р(В2),..., Р(Вn)
и условные вероятности
РВ1(А), РВ2(А),..., РВn(А).
Известно также, что в результате опыта событие А произошло, тогда апостериорная (послеопытная) вероятность каждой i-ой гипотезы определяется следующей формулой:
Эта формула называется формулой Бейеса или теоремой гипотез.
Доказательство.
Найдем вероятность произведения двух событий А и Вi
Р(А·Вi) = Р(А)·РА(Вi)
Р(А·Вi) = Р(Вi)· РВi(А)
РА(Вi) = (Р(Вi) РВi(А))/Р(А) =
Задача. Пусть система состоит из двух последовательно соединенных элементов, надежности которых заданы.
р1 = 0.9
р2 = 0.95
В результате испытания стало известно, что система отказала. Найти вероятность того, что отказал 1-ый элемент, а второй – исправен.
Решение. Обазначим события:
В0 – оба элемента исправны.
В1 – 1-ый отказал, 2-ой исправен.
В2 – 1-ый исправен, 2-ой отказал.
В3 – оба отказали.
А – отказ системы.
Р(В0) = р1· р2 = 0.9· 0.95 = 0.855 РВ0(А) = 0
Р(В1) = (1 – р1)р2 = 0.1· 0.95 = 0.095 РВ1(А) = 1
Р(В2) = р1(1 – р2) = 0.9· 0.05 = 0.045 РВ2(А) = 1
Р(В3) = (1 – р1)(1 – р2) = 0.1· 0.05 = 0.005 РВ3(А) = 1
РА(В1) = =
= 0.095·1/(0.855·0 + 0.095·1 + 0.045·1 + 0.05·1) = 0.095/0.145» 0.655