Задача о действии одной сосредоточенной силы
(задача Ж. Буссинеска)
Рассматривается действие сосредоточенной силы Р, приложенной перпендикулярно к ограничивающей полупространство плоскости. Полупространство однородно в глубину, в стороны и обладает линейной деформируемостью (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Расчетная схема действия сосредоточенной силы
Для любой точки полупространства с координатами Z, Y или b, R (например М1 и М2) перемещения точек по направлению радиуса R равно:
. (3.1)
Относительная деформация грунта на отрезке dR:
. (3.2)
Для линейно деформируемой среды напряжение пропорционально деформации
, (3.3)
где - коэффициенты пропорциональности.
Напряжения в массиве грунта связаны с величиной силы Р условиями равновесия. Для составления уравнения равновесия проведем полушаровое сечение с центром в точке приложения сосредоточенной силы (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Схема радиальных напряжений при действии сосредоточенной силы
Для выделенного элементарного шарового пояса с центральным углом db радиальное напряжение принимается постоянным.
|
|
Условие равновесия – сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю:
, (3.4)
где dF – площадь кольца полушария при увеличении угла b на величину db:
. (3.5)
Тогда:
. (3.6)
После вычисления интеграла получим:
. (3.7)
Отсюда следует, что
. (3.8)
Поставляя найденные коэффициенты пропорциональности в (3.3) получим выражение для радиального напряжения
. (3.9)
Радиальное напряжение, отнесенное к площадке параллельной ограничивающей плоскости, обозначим . Из геометрических соотношений
. (3.10)
Разложим силу на три направления z, x, y (рис. 3.3):
(3.11)
Рис. 3.3. Составляющие напряжений для площадки, параллельной
ограничивающей плоскости.
Учитывая, что
, (3.12)
получим величины составляющих напряжений для площадки, параллельной ограничивающей плоскости:
(3.13)
Вывод: компоненты напряжений для площадок, параллельных ограничивающей полупространство плоскости, не зависят от упругих постоянных однородного линейно деформируемого полупространства.
Принимая во внимание, что
(3.14)
и обозначив
, (3.15)
получим широко используемое на практике при расчете осадок фундаментов простое выражение для сжимающих напряжений :
. (3.16)
Для облегчения расчетов значения коэффициента К табулированы. Эпюры сжимающих напряжений и линий равных сжимающих напряжений при действии сосредоточенной силы приведены на рис 3.4.
Рис. 3.4. Эпюры сжимающих напряжений и линий равных сжимающих
напряжений при действии сосредоточенной силы
Рассмотрим действие сосредоточенной силы Q, приложенной на поверхности параллельно ограничивающей полупространство плоскости (рис. 3.5).
|
|
Сжимающие вертикальные напряжения при действии горизонтальной силы можно определить по формуле
. (3.17)
Рис. 3.5. Схема действия сосредоточенной силы Q.
Имея выражения для сжимающих напряжений при действии вертикальной и горизонтальной сил, можно найти сжимающие напряжения для наклонной силы.