Матрицы. Операции над ними
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. В общем виде матрица записывается следующим образом:
a11 | a12 | … | a1n | |||
A= | a21 | a22 | … | a2n | (1) | |
… | … | … | … | |||
am1 | am2 | … | amn |
Для любого элемента (члена) матрицы a ij, как и в случае определителей, первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращённо матрицу записывают так:
A = (a ij ), где i = 1, 2,...,m, j = 1, 2, … n.
Виды матриц
Если в матрице число строк не равно числу столбцов (m ≠ n), то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы
a11 | a12 | ||||||||
А= | a21 | a22 | B= | a11 | a12 | a13 | |||
a31 | a32 | a21 | a22 | a23 | |||||
a41 | a42 |
Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы
А= | а11 | а12 | B= | а11 | а12 | а13 | ||
а21 | а22 | , | а21 | а22 | а23 | |||
а31 | а32 | а33 |
Число строк и столбцов квадратной матрицы называют её порядком. В приведённом примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В равен 3.
|
|
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
a11 | a12 | … | a1n | |||
A= | a21 | a22 | … | a2n | (2) | |
… | … | … | … | |||
an1 | an2 | … | ann |
Она называется невырожденной (неособой), если её определитель DA не равен нулю. Если же DA = 0, то матрица – особая (вырожденная). Диагональ, содержащую элементы a11, a22, … ann, как и в теории определителей, называют главной, а диагональ с элементами a1n, a2, n-1, … an1 – побочной.
Матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называют диагональными. Например, матрицы
A = | и | B = | |||||
-5 | |||||||
являются диагональными матрицами соответственно второго и третьего порядка. Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны между собой, т.е. a11 = a22 = … ann, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E. Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица
Е = | |||
Если в матрице (1) m = 1, n > 1, то получим матрицу-строку (однострочечную матрицу)
A = (a11 a12 … a1n) (3)
Если же m > 1, а n = 1, то получается матрица-столбец (одностолбцевая матрица)
b11 | |
В= | b21 |
… | |
bm1 |
|
|
Матрицы-строки и матрицы-столбцы называют также вектор-строкой и вектор-столбцом.
Матрица АТ (или А*) называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы АТ. Так, матрица
a11 | a21 | … | am1 | |||
AT= | a12 | a22 | … | am2 | (5) | |
… | … | … | … | |||
a1n | a2n | … | amn |
является транспонированной по отношению к матрице (1). Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если a ij = a ji. Очевидно, что симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.
Равенство матриц
Две матрицы А = (a ij ) и В = (b ij ) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если a ij = b ij при всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы
A= | a11 | a12 | и | B= | b11 | b12 | ||
a21 | a22 | b21 | b22 |
равны, если
a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22.
Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (m x n), либо квадратные одного и того же порядка n.
Линейные операции над матрицами
Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.
Суммой двух матриц А = (a ij ) и В = (b ij ) называется матрица С = (c ij ), элементы которой определяются равенством:
a ij + b ij = c ij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).
Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка n.
Пример 1.
a11 | a12 | + | b11 | b12 | = | a11+b11 | a12+b12 |
a21 | a22 | b21 | b22 | a21+b21 | a22+b22 |
Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный
А + В = В + А (6)
и сочетательный
(А + В) + С = А + (В + С) (7)
законы сложения.
Произведением матрицы А = (a ij ) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:
kА = k(a ij ) = (ka ij ) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)
Пример 2.
k | a11 | a12 | = | ka11 | ka12 |
a21 | a22 | ka21 | ka22 |
Произведение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка
A= | a11 | a12 | и | В= | b11 | b12 | |||
a21 | a22 | b21 | b22 |
Произведение обозначается так: A . B = C (или AB = C).
Чтобы найти элемент с11 первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b11 и b21) и полученные произведения сложить: c11 = а11b11 + a12b21;
чтобы найти элемент с12 первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а11 и а12) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить: с12 = а11b12 + a12b22.
Аналогично находятся элементы с21 и с22.
С = AB = | a11b11 + a12b21 | a11b12 +a12b22 |
a21b11 + a22b21 | a21b12 + a22b22 |
Сформулируем правило умножения двух матриц.
Произведением матрицы А = (а ij ), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = (b ij ), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (с ij ), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент с ij равен сумме произведений элементов i -ой строки (a i1, a i2, … a in ) матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца (b 1j, b 2j, … b nj ) матрицы В.
Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.
Пример 3.
a11 | a12 | a13 | b11 | b12 | b13 |
a21 | a22 | a23 . | b21 | b22 | b23 = |
b31 | b32 | b33 |
a11b11 + a12b21 + a13b31 | a11b12 + a12b22 + a13b32 | a11b13 + a12b23 + a13b23 |
a21b11 + a22b21 + a23b31 | a21b12 + a22b22 + a23b32 | a21b13 + a22b23 + a23b33 |
Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).
Найти произведение матриц
А = | -3 | и В = | |||||
-4 | |||||||
-5 |
Найдём каждый элемент матрицы-произведения:
|
|
c11 = a11b11 + a12b12 + a13b13 = 1 . 2 + (-3) . 1 + 2 . 1 = 1
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 . 5 + (-3) . 2 +2 . 3 = 5
c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 1 . 6 + (-3) . 5 + 2 . 2 = -5
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 3 . 2 + (-4) . 1 + 1 . 1 = 3
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 3 . 5 + (-4) . 2 + 1 . 3 = 10
c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 3 . 6 + (-4) . 5 + 1 . 2 = 0
c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 2 . 2 + (-5) . 1 + 3 . 1 = 2
c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 2 . 5 + (-5) . 2 + 3 . 3 =9
c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 2 . 6 + (-5) . 5 + 3 . 2 = -7
Следовательно,
АВ = | -5 | ||
-7 |
Далее Кристина находит произведение ВА:
ВА = | 2 . 1 + 5 . 3 + 6 . 2 | 2(-3) + 5(-4) + 6(-5) | 2 . 2+ 5 . 1 + 6 . 3 | |
1 . 1 + 2 . 3 + 5 . 2 | 1(-3) + 2(-4) + 5(-5) | 1 . 2+ 2 . 1 + 5 . 3 | = | |
1 . 1 + 3 . 3 + 2 . 2 | 1(-3) + 3(-4) + 2(-5) | 1 . 2+ 3 . 1 + 2 . 3 |
= | -56 | ||
-36 | 19 | ||
-25 |
Видим, что АВ ≠ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.
Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:
(А + В) . С = А . С + В . С (8)
С . (А + В) = С . А + С . В (9)
А . (В . С) = (А . В) . С (10)
Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.
Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).
Найти значение матричного многочлена
3(А2 – В2) – 2АВ
при | А = | -2 | и | В = | -7 | -2 | |||||
-1 | -1 | ||||||||||
Имеем
А2 = | -2 | -2 | = | |||||||
-1 | -1 | -3 | ||||||||
2 | ||||||||||
В2 = | -7 | -2 . | -7 | -2 | = | -27 | ||||
-1 | -1 |
А2 – В2 = | -39 | -23 | , 3(А2 – В2) = | -117 | -69 | ||
-4 | -12 |
2 | 19 | -14 | |||||||||
АВ = | -2 | 0 . | -7 | -2 | = | -4 | , | ||||
-1 | -1 | -3 |
38 | -28 | ||||||
2 АВ = | -8 | ||||||
-6 |
3(A2 – B2) – 2 AB = | -145 | -89 | |||||
-6 | -14 |
Умножение на единичную матрицу
|
|
На основании правила умножения матриц получаем:
АЕ = | а11 | а12 . | = | а11 | а12 | ||
а21 | а22 | а21 | а22 | ||||
EA = | 0 . | а11 | а12 | = | а11 | а12 | |
а21 | а22 | а21 | а22, | ||||
т.е. АЕ = ЕА = А (11)
Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.
Понятие обратной матрицы
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А-1, запишем
А-1А = АА-1 = Е (12)
Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Нахождение матрицы, обратной данной
Пусть дана невырожденная матрица
а11 | а12 | а13 | ||
А= | а21 | а22 | а23 | |
а31 | а32 | а33 |
а11 | а12 | а13 | |||
DА = | а21 | а22 | а23 | ≠ 0 | |
а31 | а32 | а33 |
Обратной матрицей А-1 будет матрица
A11/DА | A21/DА | A31/DА | ||||
A-1 = | A12/DА | A22/DА | A32/DА | , | (13) | |
A13/DА | A23/DА | A33/DА |
где А ij – алгебраическое дополнение элемента а ij определителя DA.
Убедиться в этом можно, умножая матрицу А на матрицу А-1. Например, элементы с11 и с23 определяются так:
···
c 23 =a 21···=
== 0
В итоге
а11 | а12 | а13 | A11/DА | A21/DА | A31/DА | ||||||
С=AA-1= | а21 | а22 | а23 | A12/DА | A22/DА | A32/DА | = | =E | |||
а31 | а32 | а33 | A13/DА | A23/DА | A33/DА |
Матрица
A11 | A21 | A31 | ||||
= | A12 | A22 | A32 | (14) | ||
A13 | A23 | A33 |
называется матрицей, присоединённой к А. (Используется также обозначение ). Обратная матрица А-1 через присоединённую выражается так:
= | 1 | (15) | |
DA |
Обратную матрицу будем находить по следующей схеме:
1. Находим определитель матрицы А.
2. Находим алгебраические дополнения всех элементов а ij матрицы и записываем новую матрицу.
3. Меняем местами строки и столбцы полученной матрицы (транспонируем матрицу).
4. Умножаем полученную матрицу на 1/DA.
Пример 6. (Лена Иванова, КШ-061).
Дана матрица
A = | |||
-2 | -3 |
Найти обратную матрицу.
1. Вычисляем определитель матрицы А:
DA = | = | -12 | -17 | = | (492 - 493) = -1 | ||||
-2 | -3 | -29/2 | -41/2 |
Так как DA ≠ 0, то матрица А является невырожденной, и, значит, можно найти матрицу А-1.
2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
A11 = | = -1, | A21 = - | = 1, | A31 = | = -1, | ||||||
-2 | -3 | -2 | -3 |
A12 = - | = 38, | A22 = | = -41, | A32 = - | = 34, | ||||||
-3 | -3 |
A13 = | = -27, | A23 =- | = 29, | A33 = | = -24. | ||||||
-2 | -2 |
Следовательно,
-1 | -1 | -1 | |||||
A -1 = (-1) | -41 | = | -38 | -34 | |||
-27 | -24 | -29 |
Лекция 4.
Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений
Снова рассмотрим систему трёх линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными (см. (1), лекция 2).
а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 | ||
а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 | (1) | |
а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 |
Введём три матрицы:
а11 | а12 | а13 | ||
А= | а21 | а22 | а23 | |
а31 | а32 | а33 |
х1 | |
X = | х2 |
х3 |
b1 | |
B = | b2 |
b3 |
Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в матричной форме
а11 | а12 | а13 | х1 | b1 | ||||||
B = | а21 | а22 | а23 | х2 | = | b2 | (2) | |||
а31 | а32 | а33 | х3 | b3 |
или
AX = B (3)
Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Для его решения умножим левую и правую часть слева на матрицу А-1:
А-1АX = A-1B
Так как А-1A = E, а EX = X, то
X = A-1B (4)
или в развёрнутом виде
x1 | A11 | A21 | A31 | b1 | ||||
x2 | = | 1/DA | A12 | A22 | A32 . | b2 | (5) | |
x3 | A13 | A23 | A33 | b3 |
Произведя умножение матриц, находим
x1 | b1A11 + b2A21 + b3A31 | ||
x2 | = | 1/DA | b1A12 + b2A22 + b3A32 |
x3 | b1A13 + b2A23 + b3A33 |
Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа, получаем
x1 = | b1A11 + b2A21 + b3A31 |
DA |
x2 = | b1A12 + b2A22 + b3A32 |
DA |
x3 = | b1A13 + b2A23 + b3A33 |
DA |
Это решение можно записать в форме определителей:
= =
=
Пример 1. (Маша Куприянова).
Решить систему уравнений:
4x1 + x2 – x4 = -9, |
x1 - 3x2 + 4x3 = -7, |
3x2 - 2x3 + 4x4 = 12, |
x1 + 2x2 – x3 - 3x4 = 0. |
Представим её в виде матричного уравнения и запишем в
виде (3), где
-1 | x1 | -9 | ||||||
A = | -3 | , X = | x2 | , B = | -7 | |||
-2 | x3 | |||||||
-1 | -3 | x4 |
Решение матричного уравнения имеет вид (4). Найдём А-1.
Имеем:
-1 | -7 | |||||||||
DA = | -3 | = | -5 | = | ||||||
-2 | -2 | |||||||||
-1 | -3 | -1 | -3 |
=(-1) [(-7) . 26 + 4 . 29 – 11 . 5] = 121
Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
-3 | -1 | -1 | ||||||||||||
A11= | -2 | =38, | A21= - | -2 | =-9, | A31= | -3 | =-7, | ||||||
-1 | -3 | -1 | -3 | -1 | -3 | |||||||||
-1 | -1 | |||||||||||||
A41= - | -3 | =-22, | A12= - | -2 | =-26, | A22= | -2 | =38, | ||||||
-2 | -1 | -3 | -1 | -3 | ||||||||||
-1 | -1 | -3 | ||||||||||||
A32= - | =43, | A42= | =66, | A13= | =-29, | |||||||||
-1 | -3 | -2 | -3 | |||||||||||
-1 | -1 | -1 | ||||||||||||
A23= - | =61, | A33= | -3 | =34, | A43=- | -3 | =55, | |||||||
-3 | -3 | |||||||||||||
-3 | ||||||||||||||
A14= - | -2 | =5, | A24= | -2 | =2, | A34=- | -3 | =15, | ||||||
-1 | -1 | -1 | ||||||||||||
A44= | -3 | =-22. | ||||||||||||
-2 |