Важнейшим понятием механики разрушения является понятие критерия разрушения. Отметим различие задач теории упругости и механики разрушения. Если поставить и решить задачу теории упругости или пластичности для тела, имеющего тонкий разрез, то в полученное решение в виде параметра войдет размер разреза, как и иные размеры тела. При заданных и фиксированных внешних усилиях ряду значений длины разреза соответствует ряд значений компонентов напряженного и деформированного состояний. В полученном решении задачи теории упругости содержится длина разреза наравне с другими геометрическими размерами тела. Но при этом в нем не содержится связи внешнего усилия с длиной разреза при заданной нагрузке (при заданной нагрузке можно произвольно менять размеры тела, что отражается только на напряженно-деформированном состоянии). Для того чтобы получить такую связь, необходимо к полученному решению добавить некоторое условие или критерий разрушения, который переводит разрез в трещину. Такой критерий устанавливает величину усилия, при котором разрез начинает распространяться. В этом случае величина нагрузки и длина трещины становятся взаимосвязанными. При этом нельзя изменить длину трещины, не изменив и саму нагрузку. Если разрез получает возможность распространяться быстро или медленно, то такое состояние тела называют предельным или критическим, при этом критерий разрушения удовлетворяется.
|
|
Критерий разрушения устанавливает условие наступления предельного состояния равновесия. В состоянии предельного равновесия внешнее усилие и характерный размер трещины связаны функциональной зависимостью. Критерий разрушения является дополнительным уравнением к уравнениям теории упругости и пластичности. Поэтому наличие решений теории упругости для тел с тонкими разрезами еще не создает теорию трещин, в то же время основной вопрос теории трещин – установление и изучение критерия разрушения. Общий вид критерия разрушения
F(р,l) ≤ Fс, (2.18)
где F(р,l) – аналитическое выражение критериальной величины через параметр внешней нагрузки р и длину l трещины, а Fс – эта же величина, но найденная из эксперимента в критическом состоянии, при котором
F(pс,1с) = Fс. (2.19)
Величина Fс имеет смысл характеристики трещиностойкости материала. И сразу видно, что трещиностойкость материала может быть выражена через различные критериальные параметры механики разрушения F, входящие в левую часть выражения (2.18).
Можно показать, что силовой критерий разрушения эквивалентен энергетическому критерию Гриффитса.
В теле с симметричной трещиной длиной 2 l при ее развитии в каждую сторону на величину δ l освобождается упругая энергия –2(dW/dl)δl. Обозначив освободившуюся энергию –dW/dl на единицу площади через G, получим:
|
|
δГ=2Gδ. (2.20)
В выражении (2.20) величина G представляет собой приток энергии в вершину трещины, приходящийся на единицу площади трещины или, иначе говоря, интенсивность освобождающееся упругой энергии. Энергия Г обеспечивает существование тела как единого целого.
На образование новых поверхностей требуется энергия
δГ=4γδl,(2.21)
где, как и ранее, через γ обозначена поверхностная энергия, отнесенная к единице площади. Таким образом, из (2.20) и (2.21) имеем:
G=2γ, (2.22)
где G – механическая характеристика трещиностойкости материала, отражающая его сопротивление росту трещины и называемая вязкостью разрушения.
Поток энергии в вершину трещины при ее движении можно вычислить как работу, необходимую для «закрытия» трещины, исходя из следующих соображений.
Рис.2.4. Схематическое изображение конца трещины до ее продвижения на единицу длины (а) и после продвижения (б)
Представим себе мысленно, что на продолжении трещины (рис. 2.4 а) имеется разрез, на поверхности которого действуют напряжения, возникающие в зоне концентрации от воздействия внешней нагрузки. Тогда искомый поток энергии при продвижении трещины на единицу длины мысленного разреза, согласно схеме (рис. 2.4б) определится выражением
, (2.23)
где нормальное напряжение σу и перемещение v в случае плоской деформации берутся из формул (2.12) и (2.13) соответственно при θ=0 и θ=π ( минус здесь стоит потому, что сила и путь, на котором сила совершает работу, направлены в разные стороны). При этом
, (2.24)
. (2.25)
Подставляя (2.24) и (2.25) в (2.23) и производя интегрирование, получим
– для плоской деформации, (2.26)
– для плоского напряженного состояния. (2.27)
Итак, имеем две эквивалентные формулировки критерия разрушения:
1) энергетическую, согласно которой предполагается, что трещина может распространяться тогда, когда интенсивность освобождающейся энергии G достигает критического значения:
. (2.28)
2) силовую, согласно которой трещина может развиваться при достижении коэффициентом интенсивности К своей критической величины:
. (2.29)
Эта эквивалентность вытекает из формул (2.26) и (2.27) для плоской деформации и плоского напряженного состояния соответственно:
, . (2.30)
Формулы (2.30) справедливы для идеально хрупкого разрушения. В действительности, как указывалось, у большинства металлов в малой области вершины трещины из-за пластических деформаций проявляются нелинейные свойства материала. Однако вследствие малости области пластической деформации (где проявляются нелинейные эффекты) по сравнению с длиной трещины полагают, что размеры этой области и степень происходящей в ней пластической деформации контролируются коэффициентом интенсивности К и пределом текучести σ0,2. Поэтому для квазихрупкого разрушения оставляют в силе оба критерия разрушения Кс и Gc, полагая, что они зависят от характера сопротивления материала пластической деформации.
Итак, соотношения (2.28) и (2.29) в линейной механике разрушения являются основными. С их помощью можно рассчитывать предельные состояния элементов конструкций с трещиной, а также оценивать механические свойства материала и его способности тормозить развитие трещин.
В общем случае нагружения, когда возможны смещения берегов трещин относительно друг друга одновременно по трем рассмотренным схемам, получаем
–
для плоской деформации,
–
для плоского напряженного состояния.