Принцип Вардропа

Дословная формулировка этого принципа гласит: «Время путешествия по всем используемым маршрутам одинаково и меньше времени, которое потребовалось хотя бы одному транспортному средству для поездки по любому из неиспользуемых маршрутов» [1].

Проиллюстрируем цитированное на рисунке 21.

Рисунок 21. Иллюстрация принципа Вардропа

На рисунке 21 используемыми маршрутами являются: 12-23-34; 15-54. Неиспользуемый маршрут: 16-67-78-84. Поэтому время движения по этим маршрутам подчиняется соотношению

.

Если бы, например, маршрут 15-54 имел бы большую продолжительность поездки при прочих равных условиях, то он бы не использовался.

Применительно к издержкам пассажира математическая формулировка принципа Вардропа принимает вид:

.

Иллюстрация этого соотношения представлена на рисунке 22.

Далее для формулирования задачи равновесия в транспортной сети необходимо отметить, что функция издержек пользователей на сети является неубывающей функцией потока , поскольку расход пользователя сети может только возрастать.

Рисунок 22. Еще одна иллюстрация принципа Вардропа

Сформулируем теперь задачу равновесия в транспортной сети. Требуется найти такой вектор потоков в сети, для которого удовлетворяются:

Ø условия непрерывности потоков в сети;

Ø условия неотрицательности потоков в сети;

Ø условия аддитивности потоков в сети (возможность суммировать потоки по дуге);

Ø принцип Вардропа;

Ø функция спроса пассажира (или грузоотправителя).

Можно доказать, что решение такой задачи существует и что это решение единственное (доказательство этого факта в настоящем пособии опускается).

Математически задача сводится к минимизации следующей целевой функции:

.

Здесь первое слагаемое представляет спрос на перевозки и определяет транспортные издержки на всех транспортных парах рассматриваемой сети, поскольку именно транспортные пары на сети формируют спрос. Второе слагаемое определяет предложение – издержки на дугах сети, которые соответствуют потребному распределению потоков в сети.

Входящие в целевую функцию (в верхние пределы интегралов) величины и могут быть выражены через одну и ту же переменную следующим образом:

;

.

Таким образом, в целевой функции в действительности используются только переменные вида .

Далее можно показать, что рассматриваемая целевая функция F является строго выпуклой по переменной , поэтому решение задачи равновесия в сети существует и является единственным.

Необходимо отметить, что в реальной транспортной ситуации на сети точного равенства между спросом и предложением найти не удается. Всегда наблюдается некоторый разбаланс. Именно поэтому задача о равновесии в транспортной сети сформулирована как оптимизационная задача, в результате решения которой отыскивается именно минимум такого разбаланса.