Любая плоскость в пространстве XYZ представляется линейным уравнением вида. И наоборот, любое линейное уравнение задает плоскость

Взаимное расположение прямой и плоскости. Рассмотрим прямую

, и плоскость . Прямая может 1) лежать в плоскости, 2) быть параллельной плоскости, то есть не пересекать плоскость, 3) пересекать плоскость в единственной точке.

В случае 1) направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости взаимно перпендикулярны, то есть, , и существует общая точка у прямой и плоскости (существование одной такой точки обеспечивает принадлежность всех точек прямой данной плоскости);

в случае 2) и на прямой существует точка, не лежащая в плоскости (существование такой точки обеспечивает то, что все точки прямой не принадлежат данной плоскости);

в случае 3) .

Геометрическим местом точек пересечения двух плоскостей является прямая.

Для получения точки пересечения трех плоскостей следует решить систему

Мы знаем, что решение единственно, если главный определитель системы отличен от нуля. Система не имеет решений, если ранги главной и расширенной матриц системы различны.

Поверхности второго порядка. Поверхностью второго порядка называют геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени, то есть уравнению, в котором координаты и входят в суммарной степени не выше 2. Такое уравнение имеет вид .

Не всякое уравнение определяет реальную поверхность, а случаев, когда реальная поверхность существует, очень много. Мы рассмотрим несколько типов поверхностей.

1. Цилиндрические поверхности. Уравнение второй степени, не содержащее одной из переменных, задает цилиндрическую поверхность. Например, уравнение задает связь между координатами и , но не накладывает ограничений на координату . В итоге получается поверхность, «вырастающая» из соответствующего эллипса, расположенного в плоскости XOY. Из каждой точки эллипса перпендикулярно плоскости XOY выходит прямая, называемая образующей данной цилиндрической поверхности. В совокупности эти образующие составляют цилиндрическую поверхность, а сам эллипс называется направляющей цилиндрической поверхности.