Пример №1
, где t= sin x
/
Интегралы, содержащие иррациональность.
= ln |x+1+| +C
Выделяется полный квадрат
+ C=
Интегралы вида:
С помощью подстановки , откуда
Dx=
D=4-3=1
X1= 3
X2= -1
Определенный интеграл.
Если функция f(x) определена на отрезке a≤x≤b b a=x0≤ x1 ≤ x0≤ …≤ xn-1≤ xn=b -произвольное разбитие этого отрезка на n частей, то интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b] называется сумма вида:
Где Xk-1 ≤ Еk ≤ Xk
∆Xk= Xk - Xk-1, k= 1,2,3…n- основания прямоугольников.
т.о.
f(Еk)- высоты прямоугольников.
Свойства определенных интегралов.
1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.
где k- постоянная величина.
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
4. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то
5. Если функция всюду на отрезке [a,b], то
|
|
6. Если на отрезке g(x) всюду на отрезке [a,b], то
7. Если функция на отрезке [a,b], то
8. на отрезке [a,b], то
9. Теорема о среднем. Если g(x)=непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такое значение Е e [a,b], что
10. Если функция четная, то
Если функция нечетная, то
0
11. Формула Ньютона- Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a,b] функции равен приращению любой ее первообразной F(x) на этом отрезке:
Или
12. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], a= φ(α) и b= φ (β) и функция непрерывна в каждой точке х= φ(t), где t e[α, β], то
13. Интегрирование по частям определенного интеграла. Если функция u=u(x), v=v(x) имеют производные на отрезке [a,b], то