ДУ высших порядков. Задача Коши. Ур-я, допускающие понижение порядка.
Определение. Ур-я вида наз-ся ДУ 2-го порядка.
ДУ, разрешенное относительно 2-й производной имеет вид
Пример. Последовательно интегрируя, получим
Лемма. ДУ 2-го порядка обычно имеет бесчисленное множество реш-й, определяемых формулой содержащей две произвольные постоянные. Это множество реш-й наз-ся общим решением.
Частные решения ДУ определяются из нач-х усл-й
Пример.
Геометр-й смысл нач-х усл-й: Помимо точки задаем угловой коэф-т касс-й.
Если ф-я и ее производные непрерывны в окрестности знач-й то ДУ в достаточно малом интервале имеет единств-е реш-е удовлетворяющее заданным нач-м усл-м
Без доказательства.
Из теоремы следует, что ур-е при заданных нач-х усл-х имеет единственное реш-е. Если задать нач-е усл-я при то теорема о сущ-нии дать ответ не может, т.к. при правая часть имеет особенность.
Для ДУ 2-го порядка часто задают граничные условия (краевые условия) (сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.). В этом случае может быть одно реш-е, может реш-е не сущ-ть и может быть бесконечное мн-во реш-й. Это коренное отличие задания граничных условий от задания нач-х усл-й.
Пример.