Тема 7. Планирование эксперимента
Планирование эксперимента в широком смысле этого слова основа жизнедеятельности человека.
На первой стадии в результате мыслительной деятельности возникают идеи, замыслы, строятся гипотезы, взвешиваются различные варианты воплощения задуманного. (Рис.1).
На этой стадии происходит создание мысленной модели. Разработаны эффективные приёмы организации творческой деятельности: автоматизация рационализаторства и изобретательства (АРИЗ), используется метод мозгового штурма.
На второй стадии осуществляется экспериментальная проверка, воплощение идей в некий продукт. Экспериментальная проверка может осуществляться как на конечном продукте, так и на его уменьшенной или увеличенной физической модели.
Экспериментальной проверке предшествует собственно планирование эксперимента, которое включает следующие пункты:
1. Обоснование, понимание факта необходимости эксперимента.
2. Выбор факторов и уровней
3. Выбор переменной отклика для оптимизации
4. Выбор плана (числа реплик, способа рандомизации)
5. Собственно эксперимент
И, наконец, на третьей стадии происходит осмысление, оценка произведённого продукта, а с точки зрения планирования эксперимента происходит
6) анализ данных эксперимента
7) формулировка выводов и рекомендаций.
В результате обработки результатов деятельности снова возникают идеи усовершенствования сделанного и процесс циклически повторяется на более высоком уровне.
Таким образом, в широком смысле планирование эксперимента – один из самых древних и фундаментальных видов научной деятельности.
Заметим, что планирование эксперимента, не формализованное, не проводящееся в рамки научной дисциплины под названием “Планирование эксперимента”, имеет хаотический стиль. По оценкам эффективность такой деятельности низка. Научный эксперимент в рамках хаотического планирования имеет коэффициент полезного действия порядка 2%.
Основная цель планирования эксперимента это поиск наилучшего, оптимального в некотором смысле решения.
Формализация цели планирования выражается в виде некоторой функции, которую называют целевой функцией.
Построение целевой функции наиболее ответственный и наиболее трудный момент всего процесса планирования. Когда она построена, то действует строгий математический алгоритм поиска экстремума.
При построении же самой функции требуется широкая научно-техническая осведомлённость в данной области. Так, например, при проектировании оптического прибора для составления целевой функции необходимо принимать во внимание технические, технологические, технико-экономические, экологические, эстетические и многие другие аспекты, связанные с использованием прибора.
Планирование эксперимента как научная дисциплина сравнительно молодая и развивающаяся область прикладной математики. Её возникновение связывают с именем английского статистика Рональда Фишера, показавшего в конце двадцатых годов прошлого века целесообразность варьирования многими факторами при проведении эксперимента в противовес однофакторному эксперименту.
Определение 1
Эксперимент - (от латинского experimentum – проба, опыт).
В словаре Иностранных Слов даётся такое определение: эксперимент - научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его каждый раз при повторении этих условий.
В Энциклопедическом Словаре эксперимент определяется как чувственно-предметная деятельность в науке. Согласно этому определению, например, написание научной статьи или просмотр научного журнала – уже эксперимент.
Второе определение более широкое. Первое – более подходит к существу дисциплины “Планирование эксперимента”.
Именно свойство воссоздания - воспроизводимости эксперимента лежит в основе алгоритма планирования.
Техника планирования: на каждом шаге ставится небольшая серия опытов, в каждом из которых варьируются по определённым правилам все факторы. Математическая обработка результатов эксперимента позволяет выработать условия проведения следующей серии опытов, направленных к достижению оптимума.
В этом суть метода Бокса-Уилсона или метода крутого восхождения (1951 г.). Мы будем изучать только этот частный случай планирования эксперимента.
Эксперимент может быть физическим и модельным.
Физический эксперимент - это реальный эксперимент на оборудовании с вещественными материалами. Это наиболее трудоёмкий, энергоёмкий и дорогой вид деятельности. Планирование эксперимента зарождалось и развивалось применительно именно к таким областям деятельности как металлургия, химическая промышленность, пищевая промышленность, транспорт.
Модельный эксперимент может быть трёх типов.
- Он может быть физическим. В этом случае модель может отличаться от объекта масштабом и, может быть, природой,
- модель может быть абстрактной психологической, неформализованной на уровне логического мышления. Это самая изящная модель.
- модель может быть формализованной математической.
Чтобы, экспериментируя на абстрактной модели, получать правильные сведения об объекте исследования нужно построить достаточно точную модель. А поскольку принципиально невозможно точно описать все возможные внешние влияющие факторы на процесс функционирования объекта исследования, то модель описывается вероятностно, статистически.
В основном планирование эксперимента применяется в областях, где без физического моделирования не обойтись: в химической, пищевой промышленности, металлургии и т. п. Непосредственных примеров использования аппарата планирования эксперимента в оптическом приборостроении нет. Элементы планирования используются в системах автоматического проектирования оптики (САПР). Известны такие системы компъютерного расчёта оптики как ОПАЛ, САРО, зарубежные ZEMAX. В этих пакетах в режиме оптимизации происходит подгонка параметров системы к состоянию, поставляющему экстремум целевой функции, в результате которой чаще всего используют аберрационную функцию Зейделя.
Для инженера-оптика планирование эксперимента может служить основой для автоматизированного проектирования оптических приборов. Для этого необходимо наличие математического описания объекта проектирования, или математической модели, положенной в основу компъютерной модели на подходящем языке программирования.
Такая модель должна отражать функциональное взаимодействие элементов и их соединений, пространственные связи и расположение. Оптик-конструктор имеет дело с абстрактной моделью создаваемого или модернизируемого им оптического прибора.
Применение планирования эксперимента, несомненно, организует и оптимизирует деятельность экспериментатора.
Кроме основной задачи – получение оптимального решения, для оптика-конструктора – получение оптимального проекта прибора, планирование эксперимента позволяет решить следующие задачи:
- поиск оптимальных условий,
- построение интерполяционных формул,
- выбор существенных факторов,
- оценка и уточнение констант теоретических моделей,
- выбор приемлемой гипотезы о механизме явления и др.
Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным, поскольку связан с поиском экстремума некоторой функции.
Какой эксперимент будет экстремальным?
- Измеряется величина и погрешность показателя преломления призмы на гониометре методом наименьшего отклонения.
- Определяется связь между углами падения и выхода лучей из призмы на гониометре, обеспечивающая минимальное отклонение.
Эксперимент №1 называют интерполяционным, а 2 – экстремальным.
Определение 2
Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.
Особенности планирования эксперимента:
- стремление к минимизации общего числа опытов,
- одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам.
- выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Объект исследования. Для конструктора объект исследования – это созданная им абстрактная модель конструируемого прибора, все функциональные связи между элементами которого описаны, то есть известны. С точки зрения процедуры планирования эксперимента:
Определение 3
Объект исследования – это “черный ящик” с конечным числом входов и выходов.
Рис.1. Схема “черного ящика”.
Определение 4
Входы “чёрного ящика” называют факторами, выходы откликами.
Каждый отклик есть функция k-переменных – факторов
Функция f называется функцией отклика. Это может быть детерминированная или статистическая функция в зависимости от свойств объекта исследования.
Объект может быть описан либо непосредственно совокупностью функций отклика, либо системой уравнений: линейных, нелинейных, дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных. При этом функции отклика могут в явном виде и не существовать, но в любом случае модель объекта должна содержать явно или неявно непустое множество решений в виде функций отклика.
Определение 5.
Количественная характеристика функции отклика, выбранная в качестве цели экстремального эксперимента называется параметром оптимизации
Условия проведения эксперимента предполагают, что значения факторов выбраны. И эксперимент заключается в определении значений функций отклика.
Фактор может иметь непрерывную или дискретную область изменения. Однако ввиду ограниченной точности представления непрерывного фактора он может быть описан с помощью дискретного набора уровней. Это соглашение существенно облегчает построение эксперимента и упрощает оценку его сложности.
Сложность эксперимента определяется числом всевозможных состояний “чёрного ящика”. Например, если для всех k-факторов существует р уровней, то число состояний будет рк. Так для система с 5 факторами на 5 уровнях имеет 3125 состояний, а 410=1049000 – 10 факторов на 4-х уровнях.
Прямой перебор ввиду огромного числа состояний нерационален, если невозможен, поэтому прибегают к процедуре планирования эксперимента.
И, наконец, объект исследования должен обладать рядом свойств, чтобы к нему была применима процедура планирования эксперимента в данном изложении.
1). Как уже упоминалось, свойства объекта должны быть воспроизводимы. То есть, если эксперимент проведен в некоторых условиях, при выбранных уровнях факторов, то повторное проведение эксперимента через неравные промежутки времени не должны существенно с заданной точностью отличаться друг от друга. Разброс значений откликов не должен превышать точности эксперимента.
2) Объект должен позволять активное вмешательство в процесс выбора уровней факторов. Такой объект называется управляемым, а эксперимент – активным.
Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость и являются причиной её нарушения. Реально не существует абсолютно управляемых объектов. Планирование носит вероятностный характер. Если погрешность воспроизводимости велика, то обращаются к иному виду планирования: активно-пассивному эксперименту. Мы не будем его рассматривать, и будем изучать только активный эксперимент.
Иногда фактор не остаётся постоянным во времени. В этом случае также обращаются к другим видам планирования. Эксперимент может быть чисто пассивным, тогда за ним только наблюдают.
И так, мы изучаем экстремальный эксперимент, который определим как
Определение 6
Экстремальный эксперимент – метод выбора минимального количества опытов, необходимых для отыскания оптимальных условий.
Параметр оптимизации является откликом, реакцией на воздействие факторов, которые определяют поведение исследуемой, проектируемой системы. Отклики системы лежат в многих аспектах, количественное выражение которых не всегда однозначно. Различные исследователи часто имеют сильно отличающиеся представления об оптимальности того или иного аспекта. Не по всем параметрам оптимизации существуют унифицированные рекомендации, и поэтому выбор критериев оптимизации часто является искусством.
Среди параметров оптимизации необходимо выбрать один параметр, по которому ищется оптимум. Все остальные параметры при этом служат уже в качестве ограничений. Здесь также возможно множество путей постановки задачи оптимизации.
Существуют различные подходы к классификации параметра оптимизации. В данном случае для оптика-конструктора представляется удобным увязать параметр оптимизации с параметрами качества, обеспечиваемыми при конструировании [2].
В соответствии с ГОСТ 22851-77, ГОСТ 15476-79 вводится
Определение 7
Качество прибора [4] – совокупность свойств, обуславливающих его пригодность удовлетворять определённые потребности в соответствии с его назначением, указанным в технических условиях.
Для объективной оценки качества прибора его свойства характеризуют количественно показателями качества, разделёнными на группы
- Показатели назначения: область применения, производительность, точность, светосила, разрешающая способность, дальность действия и другие технические характеристики прибора. Это наиболее многочисленная группа, которая в свою очередь подразделяется на общие показатели назначения (точность функционирования, качество изображения) и частные, например, параллельность визирных осей бинокулярных приборов, увеличение микроскопа, светосила фотографического прибора и т.п.
- Экономические показатели. Прибыль, себестоимость и рентабельность. Здесь следует включать и затраты на проведение самого эксперимента.
- Показатели надёжности характеризуют безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость прибора. Формирование этих показателей связаны с длительными наблюдениями.
- Показатели технологичности характеризуют степень соответствия прибора и его элементов оптимальным условиям современного производства.
- Эргономические показатели позволяют оценивать степень приспособленности прибора к взаимодействию с человеком с точки зрения удобства, гигиены и безопасности труда. Параметром оптимизации может служить, например, число ошибочных действий оператора с прибором, полученное также в результате длительных наблюдений.
- Эстетические показатели. Внешний вид, соответствие формы его назначению и т.д.
Построение эстетического параметра оптимизации основано на ранговом подходе. Строится соответствующая шкала рангов.
- Показатели стандартизации и унификации характеризуют степень использования в приборе стандартизованных и унифицированных узлов и деталей.
- Патентно-правовые показатели характеризуют патентоспособность и патентную чистоту схемных и конструктивных решений прибора.
В реальных ситуациях обычно требуется учитывать одновременно несколько параметров оптимизации или все сразу. Движение к оптимуму возможно, если выбран только один параметр оптимизации. Здесь существует две возможности построения процесса оптимизации.
- Первая: выбирается один параметр, а прочие характеристики уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями.
- Вторая: построение обобщённого параметра оптимизации, учитывающего одновременно все показатели качества.
Требования к параметру оптимизации.
- Он должен быть количественным, задаваться числом. Множество значений, которое может принимать параметр оптимизации, называется его областью определения. Область определения может быть дискретной и непрерывной, ограниченной и неограниченной.
Например, качество изображения – параметр оптимизации, оцениваемое с помощью разрешения имеет непрерывную ограниченную область определения, оцениваемое по количеству информации имеет дискретную ограниченную область определения, оцениваемое энергетически имеет неограниченную непрерывную область определения.
- Параметр оптимизации нужно уметь измерять, то есть располагать подходящим прибором для прямого измерения или располагать методикой косвенных измерений. Но если такой прибор не существует или слишком дорог, то прибегают к приёму, называемому ранжированием или ранговым подходом. При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. В простейшем случае область может содержать два значения: да – нет, годная продукция – брак. Ранг – это количественная, но субъективная оценка. Такая оценка не позволяет изучить тонкие эффекты.
Примером рангового подхода может служить судейство в фигурном катании или гимнастике. Ранговый подход используется при определении твёрдости материала по заданной шкале твёрдостей, например, Монса.
- Параметр оптимизации должен удовлетворять требованию однозначности в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. Обратное, очевидно, неверно одному и тому же значению параметра оптимизации могут соответствовать разные наборы факторов.
- Параметр оптимизации должен удовлетворять условию корректности, то есть он должен действительно оценивать эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле.
Например, некорректно использовать в качестве параметра оптимизации величину хроматизма применительно к зеркальной оптике или сравнивать приборы по разрешению в дифракционной области.
- Параметр оптимизации должен подчиняться принципу “коллективизма”, он не должен возводиться в ранг абсолюта. Он должен быть эффективным с точки зрения достижения конечной цели. Эффективность системы оценивается всегда в целом. Часто система состоит из подсистем, каждая из которых оценивается своим локальным параметром оптимизации. При этом оптимальность каждой из подсистемы не исключает возможности гибели системы в целом.
Из качественного фотографического объектива и окуляра хорошего микроскопа
не получить.
- Параметр оптимизации должен быть эффективен в статистическом смысле. Из нескольких параметров оптимизации наиболее эффективен тот, который определяется с возможной наибольшей точностью. Если эта точность недостаточна, приходится обращаться к увеличению числа опытов.
Качество фокусировки изображения может оцениваться или путём измерения величины размытости точечного изображения, или путём измерения величины продольного смещения изображения. Точность измерения продольного смещения выше, поэтому оптимизация фокусировки с помощью продольного смещения эффективнее в статистическом смысле.
- Параметр оптимизации должен удовлетворять требованию универсальности или полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект.
Например, технологические параметры в общем смысле не учитывают
экономику. Этот недостаток устраняется подразделением области определения технологических параметров оптимизации по квалитетам, определяемым по ранговому принципу: десятибалльной системе с учётом уровня производства. В свою очередь технологические допуски разделяются по трём уровням точности:
- экономический уровень – 9-10 квалитет,
- производственный уровень - 6-8 квалитет,
- технический уровень – 4-5 квалитет.
8. Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и
легко вычисляемым.
Так, например, оперировать с СКО, чем с дисперсией физически понятнее, так как СКО имеет размерность измеряемой величины.
Для простоты целесообразно нормировать параметр оптимизации с тем, чтобы он принимал значения от нуля до единицы.
Выбрать параметр оптимизации, удовлетворяющий всем требованиям практически невозможно. Требования чаще используются для сравнения нескольких возможных параметров оптимизации и выбора, наиболее отвечающего данным требованиям.