Пространство товаров. Система предпочтений

Глава 1. Теория потребительского выбора

Государственное регулирование рынка

Модели и задачи теории отраслевых рынков

Теория фирмы

Теория производства

Теория потребительского выбора

В МИКРОЭКОНОМИКЕ

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики (поведение потребителя, производителя, механизм рыночного ценообразования). В микроэкономике используются модели двух типов – оптимизационные и равновесные, и действуют аксиомы:

Аксиома индивида-потребителя: каждый индивид-потребитель принимает решения о потреблении, покупках и т.п., исключительно исходя из своей системы предпочтений.

Аксиома индивида-производителя: каждый индивид-производитель принимает решения о производстве, реализации продукции и т.п., исходя из максимизации получаемой прибыли.

Под отдельным потребителем или производителем понимается любой участник экономики, действующий единым образом, с единой позиции, имеющий единую цель (это может быть физическое лицо, домашнее хозяйство, фирма, фермерское хозяйство, магазин и т.п.).

В теории потребления рассматривается проблема рационального поведения потребителя, которая заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров он может приобрести при заданных ценах и доходе, чтобы получить наибольшее удовлетворение.

В экономике под рациональным поведением понимается поведение, направленное на достижение максимальных результатов при имеющихся ограничениях. Не нужно думать, что рациональное поведение – это непременно «правильное» поведение, скажем питание в строгом соответствии с физиологическими нормами или предписанной врачом диетой, повседневные занятия утренней гимнастикой, отсутствие так называемых «вредных» привычек и т.п. Рациональное поведение потребителя – это поведение, при котором он получает наибольшее удовлетворение от потребления благ и услуг.

Под товаром будем понимать определенное благо или услугу, поступившие в продажу в определенном месте в определённое время, по фиксированной цене.

Пусть имеется различных товаров, количество -го товара обозначим. Тогда некоторый набор товаров обозначим. Имеет смысл рассматривать только такие, для которых:. Множество всех товаров называется пространством товаров и обозначается. При этом:

1),:

(можно составлять «корзины» из наборов товаров);

2),:

(товары можно делить и умножать: взять 1/2 арбуза, 350 гр

сахара и т.п.).

Пусть цена единицы -го товара есть, тогда вектор – вектор цен, при этом: (бесплатного ничего не бывает). Для набора товаров и вектора цен их скалярное произведение есть число, называемое ценой набора или его стоимостью. Каждый индивид имеет доход – какое-то количество денег, в рамках которого он действует, приобретая нужный ему набор товаров. Доход потребителя обозначим.

Потребности людей чрезвычайно разнообразны. У каждого из нас они выстраиваются в определённую иерархическую систему. Покупая конкретный товар, потребитель реализует одну или несколько целей:

· удовлетворять насущные потребности (еда, одежда, тепло, гигиена и т.п.);

· повышать степень комфорта или уверенности в себе;

· получать эстетическое удовольствие;

· проявлять заботу о здоровье и т.п.

Каковы бы ни были конкретные причины, главное состоит в том, что потребление данного товара приносит человеку удовлетворение.

Будем считать, что потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор товаров другому, т.е. способен упорядочить все возможные наборы товаров по их предпочтительности. Порядковый подход в теории потребления был разработан Ф. Эджвортом, В. Парето, Фишером.

Запись означает, что потребитель предпочитает набор набору, либо не делает между ними различий. Из-за последнего обстоятельства отношение называют отношением слабого предпочтения.

Свойства отношения слабого предпочтения:

1. рефлексивность::;

2. транзитивность: если и, то;

3. совершенство: верно либо;

4. ненасытность: если, то.

Отношение слабого предпочтения формирует еще два отношения:

· отношение безразличия: <=> и;

· отношение строгого предпочтения: <=> и неверно, что.

Отношение безразличия разбивает множество товаров на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности или множествами безразличия.

Для эти классы называются кривыми безразличия. Набор кривых безразличия для одного потребителя образует карту безразличия.

Рис. 6

При – поверхности безразличия.

Каждое отдельное множество, класс безразличия, состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-нибудь из классов безразличия, а именно в тот, где собраны набо-ры, одинаково предпочтительные с ним. На рис.6: ~,.

1.2. Функция полезности и её свойства. Первый закон Госсена

Учитывая возможности, предоставляемые аппаратом предельного и дифференциального исчисления, понятно стремление математиков перейти от системы предпочтений к количественному подходу, основоположниками которого были К. Менгер, С. Джевонс, Л. Вальрас. Количественный подход (кардиналистс-кий) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в гипотетических единицах полезности – ютилах (от английского utility – полезность). Такое название было предложено английским философом и социологом Дж. Бентамом. Экономисты неоднократно пытались избавиться от термина «полезность», предлагая другие варианты: «годность» (Н.Х. Бунге), «желаемость» (Ш. Жид), однако первоначальный вариант пережил своих критиков.

Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма желательно и удобно оценивать привлекательность набора товаров количественно, т.е. приписать каждому набору из пространства товаров какое-то число. Получается функция:. Главное требование к такой функции - она должна отражать отношение предпочтения на:

1.;

2.;

3..

Такая функция называется функцией полезности.

Функцию полезности наглядно и вполне правильно представлять себе, как функцию, ”пересчитывающую” кривые безразличия в сторону всё большего предпочтения наборов товаров.

Однако всегда ли по системе предпочтений можно построить функцию полезности? Оказывается при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, функция полезности существует.

Отношение предпочтения называется непрерывным, если множества предпочтительности и непредпочтительности - замкнуты, т.е. существует граница: ∩ =кривая безразличия (на одной кривой безразличия: ~).

Рис. 7

Теорема Дебре. Если система предпочтения совершенна и непрерывна, то существует непрерывная функция полезности .

Надо отметить, что функция полезности, если она существует, не определяется единственным образом, т.е. таких функций множество. Кроме того:

· если - функция полезности, то - также функция полезности ();

· если - произвольная строго монотонно возрастающая функция, то - также функция полезности.

Будем считать, что - дифференцируемая функция своих аргументов, тогда называется предельной полезностью -го товара в точке (это прирост совокупной полезности набора при увеличении -го товара на единицу).

Вектор называется вектором предельных полезностей и обозначается (в математике вектор, составленный из частных производных, называется градиентом и показывает направление наибольшего роста функции).

Система предпочтений называется строго выпуклой, если =>,. Это означает, что множество предпочтительности - строго выпукло (т.е. отрезок лежит весь внутри.

Свойства функции полезности:

1. если;

2.: (1)

(это означает, что потребитель, даже если имеет набор, всё равно (ненасытный) желает ещё приобрести дополнительную единицу товара);

3. если, то, где (это означает строгую выпуклость функции полезности: лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем какой-либо один из товаров);

4. матрица Гессе:

–отрицательно

определена (т.е.:, где - вектор).

Из свойства 4 следует, что:, (2)

т.е. предельная полезность товара уменьшается по мере увеличения его потребления (закон убывающей предельной полезности, который называется 1-ым законом Госсена).

Однако, предельная полезность может увеличиваться при возрастании потребления каких-либо -го и -го товаров: (но не для всех товаров).

В экономических исследованиях часто используют конкретные виды функций полезности:

· неоклассическая:, где и;

· квадратическая:,

где – отрицательно определенная матрица и;

· логарифмическая:, где,

;

· пропорциональная:.

Пример 2.1. Пусть полезность задана функцией. Оцените изменение полезности, когда потребление первого товара уменьшается от 100 до 90, а потребление второго товара увеличивается от 225 до 250.

Решение: По условию: и.

Оценку изменения функции даёт дифференциал функции:

.

и.

и

. Тогда изменение полезности:

.

Следовательно, полезность увеличилась на 0,83.

■