Тактическое планирование экспериментов

30.10.12

Стратегическое планирование эксперимента – это определение кол-ва наблюдений и сочетание уровней факторов в них для получения наиболее полной и достоверной информации.

При стратегическом планировании д.б. решены 2 задачи:

1)идентификация факторов

2)выбор уровней факторов

Под иден-цией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значене наблюдаемой переменной Y_эфф.

По итогам идентификации факторов факторы можно разделить на 2 группы:

1.первичные – те факторы, в исследовании влияния которых мы заинтересованы непосредственно.

2.вторичные – факторы, которые не являются предметом нашего исследования, но мы их все равно должны учитывать, и влиянием которых пренебречь нельзя.

Выбор уровней факторов производится с учетом 2 противоречивых требований:

1.уровни факторов должны перекрывать (заполнять) весь возможный диапазон изменений.

2.общее кол-во уровней по все факторам не должно приводить к чрезмерному возрастанию объема моделирования.

Отыскание компромиссного решения этих 2 задач является целью стратегического планирования.

Полным факторным экспериментом наз.эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетаний уровней. Если k – кол-во факторов, то общее число различных комбинаций вычисляется след.образом.

N=l₁*l₂*…*l_k

Где l_i – число уровней i-го фактора, i=1,…,k.

Если l одинаковые

N=l^k.

Недостаток ПФЭ - В большом объеме моделирования и большом вр.подготовки эксперимента. Поэтому ПФЭ целесообразно проводить только в тех случаях, когда необходимо исследовать влияние всех факторов на наблюдаемую переменную и существует взаимное влияние факторов.

Если взаимодействие между факторами отсутствует, то проводят частные факторные эксперимента.

На практике используют различные методики построения ЧФЭ:

1.рандомозированный план – предполагает выбор сочетания уровней для каждого прогона случ.образом. при использовании этого метода отправной точкой формирования плана является число экспериментов, которое считает возможным или необходимым провести исследователь.

2.латинский квадрат (латинский план) – используется только в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичными. Соответствующий план м.представить в виде кваратной матрицы l*l относительно уровней фактора А, при этом матрица строится след.образом:

Значения фактора В	Значения фактора С
С1	С2	С3	С4
В1	А1	А2	А3	А4
В2	А4	А1	А2	А3
В3	А3	А4	А1	А2
В4	А2	А3	А4	А1

Суть такого планирования состоит в следующем: если первичный фактор А имеет l уровней, то для каждого вторич.фактора также выбир .l уровней.

3.эксперимент с изменением факторов по одному – состоит в том, что один и тот же фактор l принимает все значения, а остальные l-1 фактора поддерживаются постоянно. Такой план требует всего N прогонов, N=l₁+l₂+…+l_k.

Такой план можно использовать, если отсутствует взаимодействие м/у факторами.

4.дробный факторный эксперимент – каждый фактор имеет всего лишь 2 уровня, коорые влияют на процесс:

N=2^k.

Основанием для использования 2 факторов является убеждение в том, что изменения зависимой переменной линейны по своей природе. Часто это не выполняется, то есть многие переменные связаны с характеристиками качества нелинейным образом. Этот тип нелинейности м.б. обнаружен, если план содержит центральную точку.

Недостаток дробных планов – предположение о том, что взаимодействие высоких порядков отсутствует, но иногда они присутствуют.

Из всех рассмотренных планов экспериментов целесообразно выбирать 3: полный факторный эксперимент, рандомизированный план и латинский квадрат.

Совокупность методов установления необходимого объема испытаний относится к тактическому планированию экспериментов.

Поскольку точность наблюдаемой переменной Yэф характеризуется ее дисперсией, то основу тактического планирования эксперимента составляют методы понижения дисперсий.

Поскольку имитационное моделирование предст.собой статистич.эксперимент, то при его проведении необходимо не только получить достоверный результат, но и обеспечить его измерение с заданной точностью.

На рисунке использованы след.обозначения:

Y, Y0 – истинное и ошибочное значения наблюдаемой переменной Yэф;

b, b0 – доверительный интервал измерения величин Y и Y0.

2.11.12

В общем случае объем испытаний необходимый для получения оценок наблюдаемой переменной Yэфф c заданной точностью зависит от следующих факторов:

1. виды распределения наблюдаемой переменной, т.к. У- СВ.

2. коррелированность м/у элементов выборки

3. наличие длительности переходного режима ф-ции моделируемой системы.

Если исследование не обладает перечисленной информацией, то у него имеется единственный случай повышения точности оценок истинного значения Уэфф – это многократное повторение прогона модели для каждого сочетания уровней факторов, выбранных на этапе стратегического планирования. Такой подход носит название формирование простой случайной выборки.

При использовании ПСВ каждый пункт стратегического плана выполняется определенное число раз, затем полученные результаты усредняются. При таком подходе общее число прогонов модели равно произведению: Ns*Nt.

Где Ns- сочетание факторов по стратегическому плану, Nt- число прогонов при тактическом планировании.

Для вычисления Nt используется несколько подходов:

1. если случ.значения наблюдаемой переменной не коррелированы и их распределения не изменяются от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным.

2. В этом случае число прогона Nt необходимо для того, чтобы истинное среднее у лежало в интервале у±b с вероятностью 1-α определяется след.образом:

NT=z2*Dy/b2, Где z – значение норм.распределения, кот. Определяется по справочной таблице при заданном уровне значимости α/2.

Dy – дисперсия

b – доверительный интервал.

Если требуемое значение дисперсии Dy до начала эксперимента неизвестно, целесообразно выполнить пробную серию из L прогонов и вычислить на ее основе выборочную дисперсию D:

,

– выборочное среднее по результатам L прогонов.

Значение Dy подставляют в формулу (7) и получают предварительную оценку числа прогонов N_T. Затем выполняет оставшиеся N-L прогонов, периодически уточняя оценку числа прогонов N_T.

Это выполняется, если Yэф – скалярная величина.

В том случае если Yэф – это вектор, то оценку необходимо сделать для каждого компонента вектора и в кач-ве N_T взять максимальное.

Основной недостаток метода планирования, основанный на ПСВ, заключается в том, что наблюдается медленная сходимость выборочных средних к истинным средним с ростом объема выборки N_T. Сходимость пропорциональна. Это приводит к необходимости использования методов уменьшения ошибок, не требующих увеличения N_T. Такие методы наз.методами понижения дисперсии.

Рассмотрим 3 метода:

1.активные – предусматривают формирование выборки спец.образом

2.пассивные – которые используются после того, как выборка уже получена

3.косвенные – которые для получения оценок наблюдаемой переменной используют значения нек.вспомог.величин.

Активных методов понижения дисперсии очень много.

Рассмотрим только те, которые направлены на снижение длительности переходного режима, так как он оказывает существенное виляние на качество результатов моделирования.

Существует 3 метода уменьшения ошибок, обусловленных наличием переходного режима:

1)значительно е увеличение длительности прогона

2)исключение из рассмотрения переходного режима

3)инициализация модели при некоторых специально выбранных нач.условиях.

На практике снижение влияния переходного периода обычно добивается одним из след.способов:

-методом повторения

-методом подинтервалов

-методом циклов.

При использовании метода повторения каждое наблюдение получается при помощи отдельного прогона модели, причем все прогоны начинаются при одних и тех же нач.условиях, но используются различные последовательности случ.чисел.

Преимущество данного метода: получаем статистически независимые наблюдения. Недостаток: наблюдения могут оказаться сильно смещенными под влиянием нач.условий.

Метод подинтервалов основан на разбиении каждого прогона модели на разные промежутки вр. Начало каждого интервала совпадает с началом очередного этапа наблюдения.

Достоинство данного метода состоит в том, что влияние переходных условий со временем уменьшается и наблюдения точнее отражают поведение системы в стацион.режиме.

Недостаток: значения наблюдаемых переменных, полученных в начале очередного интервала, зависят от конечных условий предыдущего интервала (т.е. между интервалами существует автокорреляция).

Метод циклов – влияние автокорреляции уменьшается за счет выбора интервалом т.о., чтобы в их начальных точках условия были одинаковы.

Пассивные методы влияют на подготовку и проведения эксперимента и реализуются на этапе обработки и анализа результатов моделирования. Наиболее распространен метод стратифицированной выборки.