Определение точечных оценок закона распределения результатов
измерений. На этом этапе определяются:
− среднее арифметическое значение X измеряемой величины по
− оценка СКО результата измерения Sx
− оценка СКО среднего арифметического значения.
В соответствии с критериями, рассмотренными выше, исключаются грубые погрешности и промахи. После их исключения проводится повторный расчет среднего арифметического значения и оценок его СКО.
случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений x 1, x 2,…, xn переходят к выборке отклонений от
среднего арифметического Δ x 1, Δ x 2,…, Δ xn, где Δ xi = xi − Xср. Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений xi, где i =1, 2,…, n, вариационного ряда (упорядоченной выборки) yi, где y 1 = min xi и yn = max xi. Β вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h =(y 1 + yn)/ m. Оптимальным является такое число интервалов m, при котором
|
|
возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения.
Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде Δ1 = (y 1, y 1 + h); Δ2 =(y 1 + h, y 1 + 2 h);…; Δ m = (yn − h, yn)и подсчитывают число попаданий nk (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма частот должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов
группирования по формуле pk = nk/ n, где k =1, 2,…, m. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений x (рис.15) откладываются интервалы Δ k в порядке
возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой pk.
Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблюдений n. Иногда высоту прямоугольника откладывают равной эмпирической плотности вероятности pk * = pk/ Δ k = nk/(n Δ k), которая является оценкой средней плотности в интервале Δ k. В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой – графику плотности распределенияn вероятности. Следует отметить, что в ряде случаев производят расчетное симметрирование гистограммы, методика которого приведена в [17].
|
|
Кумулятивная кривая – это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений (рис.15, б) откладывают интервалы Δ k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой
Значение Fk называется кумулятивной частостью, а сумма nk –кумулятивной частотой.
По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.
3. Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона χ2 (хи-квадрат) или критерий Мизеса–Смирнова (ω2). При 50 > n >15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207–76. При n <15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.
4. Определение доверительных интервалов случайной погрешности.
Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности Δ = ± zp Sx.