Числовые параметры законов распределения

Общие сведения. Как отмечалось выше, функции распределения являются самым универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений. В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа специальных параметров, основными из которых являются:
- центр распределения;
- начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты - математическое ожидание (МО), СКО, эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии;
- энтропийный коэффициент.
Понятие центра распределения. Координата центра распределения показывает положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является центр симметрии, т.е. нахождение такой точки Хм на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5:

Точку Х_M называют медианой или 50% -ным квантилем. Для ее нахождения у распределения случайной величины должен существовать только нулевой начальный момент.
Можно определить центр распределения как центр тяжести распределения, т.е. такой точки , относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая р(х), равен нулю:

Эта точка называется математическим ожиданием. Следует отметить, что у некоторых распределений, например распределения Коши, не существует МО, так как определяющий его интеграл расходится.

При симметричной кривой р(х) в качестве центра может использоваться абсцисса моды, т.е. максимума распределения X_M.

Моменты распределений. Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называют начальными, а если от центра распределения, то центральными. Начальные и центральные моменты r-го порядка определяются соответственно по формулам

Нулевой начальный момент равен единице. Он используется для задания условия нормирования плотности распределения:

Также с помощью начального момента нулевого порядка вводится понятие медианы распределения.

Первый начальный момент - МО случайной величины:

Для результатов измерений оно представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины.

Начальные и центральные моменты случайной погрешности совпадают между собой и с центральными моментами результатов измерений: , поскольку МО случайной погрешности равно нулю. Следует также отметить, что первый центральный момент тождественно равен нулю.Важное значение имеет второй центральный момент

называемый дисперсией и являющийся характеристикой рассеивания случайной величины относительного МО. Значительно чаще в качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение

имеющее такую же размерность, как и МО. Для примера на (рис) показан вид нормального распределения при различных значениях СКО

Отдельные значения случайной погрешности предсказать невозможно. Совокупность же случайных погрешностей какого-то измерения одной и той же величины подчиняетсяопределенным закономерностям, которые являются вероятностными. Они описываются в метрологии с помощью методов теории вероятностей и математической статистики. При этом физическую величину, результат измерения которой содержит случайную погрешность, и саму случайную погрешность рассматривают как случайную величину.

Математическое описание непрерывных случайных величин осуществляется обычно с помощью дифференциальных законов распределения случайной величины. Эти законы определяют связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им плотностями вероятностей.

Наиболее распространенным при измерениях является нормальный закон распределения. Для некоторой измеряемой величины X кривая распределения плотности вероятности P(x) для закона нормального распределения имеет вид, показанный на рис. 6.

При этом плотность вероятности (или плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной погрешности в данной точке. Плотность вероятности для закона распределения описывается уравнением:

(9)

где М[x] и σ – характеристики нормального распределения.

Кривую 1 можно рассматривать как кривую распределения случайной погрешности, перенеся начало координат в точку X=M[x] (рис.7).

В этом случае плотность вероятности:

(10)

где - случайная погрешность.

Характеристики M[x] и σ называют соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Они являются важными числовыми характеристиками случайной величины.

Математическое ожидание является тем значение величины, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений, а среднеквадратическое отклонение характеризует рассеяние результатов отдельных наблюдений относительно математического ожидания. На рисунках 6 и 7 показаны кривые закона нормального распределения (кривые Гаусса) случайной величины X и ее случайной погрешности ψ при различных значениях среднеквадратического отклонения; рассеяние для кривой 3, больше, чем рассеяние для кривой 2, а рассеяние для кривой 2 – больше, чем кривой 1.

Геометрически σ определяется как расстояние от оси симметрии нормального распределения до точки А перегиба кривой распределения (Рис.6,7).

Чтобы определить вероятность P попадания результата измерения или случайной погрешности в некоторой наперед заданной интервал от -y_д до +y_д (рис. 8), необходимо найти площадь под кривой распределения, ограниченную вертикалями на границе интервала.

Для нормального распределения:

(11)

Решить интеграл (11) аналитически невозможно. Обычно он приводится в виде таблиц, позволяющих определить его значение приближенно в долях единицы.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют важные черты распределения: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.
Третий центральный момент

служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. С его использованием вводится коэффициент асимметрии . Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии приведен на (рис. а)

Четвертый центральный момент

служит для характеристики плоско- или островершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью эксцесса

Значения коэффициента лежат в диапазоне от -2 до . Для нормального распределения он равен 0. Чаще эксцесс задается формулой

Его значения лежат в диапазоне от 1 до . Для нормального распределения он равен трем. Вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса показан на (рис. б).

Для удобства часто используют контрэксцесс