Главные оси инерции и главные моменты инерции

Рис.4.12

Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат.

Рис.4.11

Определим момент инерции сечения относительно оси х₁:

Очевидно, что первый интеграл дает, второй -, т.к. исходная система координат - центральная, а третий - площадь сечения F. Таким образом,

. (4.18)

Аналогично,

, (4.19)

. (4.20)

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х₁, у₁, повернутых на угол a. Пусть J_x > J_y и положительный угол a отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – x, y, после поворота – x₁, y₁ (рис. 4.12).

Из рисунка следует:

Теперь определим моменты инерции относительно осей х₁ и у₁:

или

. (4.21)

Аналогично:

. (4.22)

(4.23)

Сложив почленно уравнения (4.21), (4.22), получим:

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Пример 5. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.4.13) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.

Рис.4.13. Пример расчета моментов инерции.

Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:

Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:

Центробежный момент инерции относительно осей и равен:

Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен:

С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение, при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или) и приравняем ее нулю:

,

или

,

откуда

. (4.24)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.23) нулю:

,

откуда

,

т.е. получили ту же формулу для.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через х₀ и у₀. Тогда

,, (4.25)

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

Главные моменты инерции I_u и I_v могут быть также определены по формулам:

(4.26)

(4.27)

При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:

(4.28)

Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:

(4.29)

(4.30)

где u_max, v_max - координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол a₀ осях по формулам:

(4.31)

(4.32)