Свойства функций непрерывных в точке.
Функция называется непрерывной в точке , если предел
функции и её значение в этой точке равны, то есть.
(1)
Из определения следует, что если функция непрерывна
в точке , то она определена в этой точке, то есть существует .
Так как, то соотношение (1) можно записать в виде
,
то есть для непрерывной функции можно менять
местами знак функции и знак предела.
Определение2. (на языке последовательностей).
Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции: сходящейся к .
Определение3. (''на языке '').
Функция называется непрерывной в точке , если для любого E>0 существует такое, что для всех x удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство .
Эквивалентность этих определений очевидна.
Перенесем в равенстве (1) в левую часть и внесём под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем
(2)
Разность называется приращением аргумента x в точке и обозначается , а разность - приращением функции в точке и обозначается. Таким образом, , .
У
f (x0+∆x) y=f(x)
∆y
f(x0)
∆x
0 x0 x0+∆x x
Равенство (2) в новых обозначениях примет вид
(3)
Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности
функции в точке.