Многократное кулоновское рассеяние

Пучок заряженных частиц, проходящий через толстые слои вещества, испытывает многократное кулоновское рассеяние (МКР), которое сильно изменяет его фазовый объем. Теория МКР, применимая к толстым слоям, создавалась Э.Ферми, и еще больше Эйджесом, работа которого относится к 40-м годам, когда для нее еще не было экспериментальной базы. Расчеты рассеяния протонов в толстых средах выполнены Гарвардской группой [64, 65]. Мы вынуждены пользоваться этими результатами, хотя предполагаем, что на них могло повлиять рассеяние пучка на стенках тонких коллиматоров, причем углы коллимации были того же порядка величины, что и измеряемые углы рассеяния.

Принимаем, что величина s, рассчитанная для разных элементов и даже для разных энергий (при начальной энергии 50-250 МэВ), отнесенная к полному пробегу, одинакова для одинаковых отношений толщины рассеивателя к полному пробегу [65]. Необходимо подчеркнуть, что речь о “физических расстояниях”, которые выражаются в единицах г/см².

4.7. “Угловой параметр рассеяния” Q_s и радиационная длина Х_о

Известны две фундаментальные величины, которые связывают между собой теорию многократного рассеяния частиц и их радиационного торможения (bremsstrahlung), происходящих в обоих случаях в кулоновском поле ядра атома [4].

Радиационная длина Х_о определяется выражением:

1/ Х_о = 4 aZ(Z+1)(N/A) r_e² ln(183Z^-1/3) (18) (или ln(106Z^-1/3 (Z+1)…) (18а)

где a=1/137, N – число Авогадро, Z, А – заряд и массовое число ядра, r_e – радиус электрона.

1/ Х_о = 4 aZ(Z+1)(N/A) r_e² ln(106Z^-1/3 (Z+1)…) (18а)

Х_о в воде составляет 36.4 г.см^-2, в костной ткани 30.9 г.см^-2, в свинце – 0.4.

Теория Мольера была наглядно упрощена Бруно Росси; для тонких слоев

Q_s ≈ (15 MeV/pbc) / Ö(x/Х_о). (19а)

Средне-квадратичный (rms) угол рассеяния в тонком слое (x<<R, 0.001<x/Х_о<100) после введения поправок Highland [69, 17] выражается формулой, которой пользуются все:

Q_s = (13.25 MeV/pbc) / Ö(х/Х_о) * [1+0.038 ln(х/Х_о)]. (19)

Следующий шаг состоит в решении уравнения переноса для толстых слоев вещества – это носит название аппроксимации Ферми – Эйджеса. Не будем останавливаться на подробностях этой процедуры, которая сейчас не актуальна благодаря распространению программ, например, уже широко используется последняя, 4-я версия GЕANT. Для удобства напомним формулу Гарвардской группы для оценки средне-квадратичного отклонения σ в конце пробега t=R и можно просто принять σ≈3%R, или (согласно Koehler []):

s₀ = 0.0300 R (протоны в мыш. ткани)

s₀ = 0.0356 R (протоны в кост. ткани)

s₀ = 0.0307 R (протоны в воде)

s₀ = 0.045 R (протоны в алюминии).

Кстати, для стрэгглинга пробегов (среднего разброса пробегов, обязанного флюктуациям ионизационных потерь энергии) известно подобное выражение:

σ_str≈R/90.

Cокращение среднего пробега (range detour) из-за того, что многократное кулоновское рассеяние протонов постоянно отклоняет их путь от прямой линии, составляет ΔR≈R/64. Поскольку все эти величины одного порядка (см. также ф-лы 8-10), создается физически простое представление о пространственном распределении энергии протонов и ионов. Линейная зависимость всех рассмотренных величин от пробега дополняет наши представления об оптике пучков - ведь по сути дела речь идет уже об аналогии с прохождением пучка света в мутной среде. На этом можно закончить изложение физических основ темы, чтобы перейти к основному ее содержанию – обзору методов планирования протонного облучения. Сказанное позволяет вполне логично перейти к описанию кривой Брэгга.

Из-за малости длины волны частицы по сравнению с радиусом ядра, возникает ограничение на углы рассеяния: при одном столкновении угол рассеяния меньше радиуса ядра q<~l/r_яд - условие применимости ПФП по углу рассеяния. Эти вопросы входят в условия (теория многократного кулоновского рассеяния Ферми – Эйджеса [ Ремиз., c 98].