Параграф 1.10.4: Комплексная огибающая. Синфазная и квадратурная составляющая сигнала

Квазигармоническое представление возможно для любого сигнала, однако, оно наиболее полезно при изучении относительно узкополосных сигналов, у которых ширина спектра Df<<f_ср. Для таких сигналов огибающая A(t) является низкочастотным процессом, т.е. изменяется медленно по сравнению с изменениями сигнала X(t). Это же верно и для мгновенной начальной фазы и для ее производной, при условии, что частота 0 выбрана вблизи средней круговой частоты спектра 2pf_ср. При наблюдении на осциллографе такой процесс имеет вид колебания промоделированного по амплитуде и фазе. Процесс представляет собой синусоиду или косинусоиду с частотой w₀ (несущие колебания), амплитуда и фаза которых относительно медленно изменяются в соответствии с законом модуляции A(t) и _. Функции A(t) и в теории связи обычно представляют собой полезные сообщения, передаваемые с помощью процесса X(t). Выражение для X(t) со (*) можно записать в следующем виде:

,

где– комплексная огибающая сигнала.

Модуль комплексной огибающей, равный A(t), содержит информацию об амплитудной модуляции колебаний, а фазовый множитель – только об угловой модуляции. В целом же произведение содержит полную информацию о полезном сообщении модулированного сигнала. Это свойство комплексной огибающей обуславливает важность понятия “аналитический сигнал”, поскольку позволяет при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту ω₀, которая может быть достаточно высокой. Преобразуя последнее выражение для можно записать:

Откуда видно, что комплексную огибающую можно рассматривать как результат сдвига спектра аналитического сигнала на частоту ω₀. В отличии от действительной огибающей А(t), комплексная огибающая не определяется однозначно сигналом X(t), а зависит также от выбора в общем случаи произвольной частоты ω₀ (за счет изменения ω₀ изменяется , а следовательно и).

Введем обозначения для действительной и мнимой частей комплексной огибающей:

С помощью этих функций можно получить еще одно полезное представление сигналов X(t) и :

Функции Aс(t) и Aк(t) – называются соответственно синфазной и квадратурной составляющими сигнала X(t). Так же как и ,они зависят от выбора частоты ω₀. Для узкополосного сигнала эти функции, так же как и A(t), являются медленно изменяющимися (низкочастотными).

Рассмотрим два последних выражения как систему уравнений относительно A_с(t) и A_к(t) и решив ее получаем выражение, связывающие эти функции сигналами X(t) и :

Данные выражения показывают, что функции A_с(t) и A_к(t) являются линейными комбинациями сигналов X(t) и .