Основные понятия теории разностных схем

Общий вид дифференциальной краевой задачи. Общий вид соответствующей разностной схемы. Определения сходимости, аппроксимации, устойчивости. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью.

Последовательное использование определений устойчивости, аппроксимации и сходимости при доказательстве теоремы.

Пусть в области задана краевая задача

, (1)

. (2)

Обозначим - пространство функций, определенных на замкнутом множестве , к которому мы относим решение задачи (1), (2); - пространство правых частей , определенных на , и - пространство функций, определенных на границе области.

На множестве введем сетку и построим разностную схему

, (3)

. (4)

Обозначим - пространство функций, определенных на всей сетке , к которому мы относим решение задачи (3), (4); - пространство правых частей , определенных на , и - пространство функций , определенных на границе сетки.

Проекцию непрерывной функции обозначим через .

В пространствах введем нормы. При этом сеточные нормы в пределе при должны совпадать с непрерывными нормами.

Определение 1. Говорят, что решение разностной схемы (3), (4) сходится к решению краевой задачи (13), (14), если

при .

Определение 2. Говорят, что разностная схема (3), (4) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении , если

при .

При этом величинуназывают погрешностью аппроксимации на решении.

Определение 3. Разностную схему (3), (4) называют устойчивой, если существуют и не зависящие от константы , такие, что при для любой сеточной функции выполняется неравенство

.

Теорема. Если разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении, то решение разностной схемы сходится к решению краевой задачи.

Доказательство. Для сеточной функции , в силу устойчивости разностной схемы, имеем или . Учитывая линейность операторов, разностную схему и условие аппроксимации, отсюда получаем

при .

Доказанная теорема позволяет разбить исследование сходимости на два этапа: исследование аппроксимации и исследование устойчивости разностной схемы.

При изложении материала за основу взяты

1) страницы 481-490 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

2) страницы 135-151 учебного пособия:Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

3) страницы 286-291 учебного пособия: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989.

11.3. Сходимость сеточного метода

решения краевой задачи для уравнения Пуассона.

Задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате и ее разностная схема. Определения аппроксимации, устойчивости, сходимости и связь между ними.

Использование введенных сеточных норм, вспомогательного квадратного многочлена и принципа максимума для исследования устойчивости разностной схемы.