Основные определения. Определение 1. Испытанием В называется любое разбиение множества W

Испытания Бернулли

Определение 1. Испытанием В называется любое разбиение множества W. элементарных событий на не более чем счетное объединение событий:

Здесь А ₁, А ₂,..., А_n, называются исходами испытаний.

С каждым испытанием В можно связать дискретную случайную величину, которая принимает значения a_i, если исходом испытания является А_i,, i = 1,2,..., n,..

Пример. Двое играют в следующую игру. Бросают игральную кость один раз. Если выпало число 1 на верхней грани игральной кости, то первый игрок отдает второму игроку, допустим, 5 рублей; если число выпавших очков колеблется от 2 до 4, то второй игрок отдает первому игроку 3 рубля; если же число выпавших очков больше 4, то никто ставок не делает (т.е. никто никому ничего не дает). Множество элементарных событий W = {1,2,3,4,5,6} разобьем на непересекающиеся события А ₁, А ₂, и А₃, где события А_i, следующие:

А ₁ = { выпало число 1}, А ₂ = { выпало число от 2 до 4 включительно }, А ₃ = { выпало число больше 4}.

Мы получили испытание

С этим испытанием можно связать, например, случайную величину

x = { сумма выигрыша первого игрока }.

Тогда по условиям задачи получаем, что

Пусть имеются п испытаний:

Испытания B ₁, B ₂, …, B_n называются независимыми, если независимы (в совокупности) их исходы

Если с испытанием связывать случайные величины, то независимость испытаний равносильна независимости случайных величин, связанных с ними.

Определение 2. Испытания B ₁, B ₂, …, B_n, n ³ 2 называются испытаниями Бернулли, если

1) они независимы,

2) имеют только два исхода: B_k = { A_k, Ā_k}, k = 1,2,..., n

3) вероятность Р (A_k) = р в каждом испытании одна и та же (не зависит, от k, k = 1,2...., n).

Из независимости испытаний Бернулли следует, что случайные величины x_k, k = 1,2,..., n независимы. Итак, x ₁, x ₂, … x_n —последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, имеющих всего два значения. Если исходом испытания B_k было событие A_k, то его назовем успехом, если было событие Ā_k — то неудачей.