Определение 14. Модой дискретной случайной величины Х называется её наиболее вероятное значение.
Замечание. Геометрически мода является абсциссой той точки полигона распределения, ордината которой максимальна.
Определение 15. Начальным моментом порядка случайной величины Х называется математическое ожидание величины : .
Замечание 1. В частности, , .
Замечание 2. Пользуясь определением моментов, дисперсию можно записать в виде .
Замечание 3. Начальные моменты позволяют учесть большие, но маловероятные значения случайной величины.
Определение 16. Центральным моментом порядка случайной величины Х называется математическое ожидание величины : .
Замечание 1. В частности .
Замечание 2. Нетрудно показать, что 1) , 2) ,
3) . Моменты более высоких порядков применяются редко.
Замечание 3. Рассмотренные моменты называют теоретическими.
Пример 1. Случайная величина Х имеет ряд распределения:
0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
Построить многоугольник распределения, найти функцию распределения вероятности и построить ее, найти математическое ожидание, дисперсию, СКО и моду случайной величины Х.
|
|
Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точки и соединим их последовательно ломаными отрезками. Получим многоугольник распределения (см. рис. 25.1).
2) Найдём функцию распределения вероятности.
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Построим график функции распределения вероятности (см. рис. 25.2).
3) Найдём числовые характеристики случайной величины Х.
а) математическое ожидание: ;
б) дисперсия: ;
в) СКО: ;
г) мода случайной величины Х – это такое её значение, которому соответствует наибольшая вероятность; наибольшая вероятность соответствует значению ; поэтому .