Решение: После проведения восьми тропинок можно убедиться, что провести девятую, не пересекающуюся ни с какой из ранее проведенных тропинок, не удается

Простые циклы и деревья являются наглядными примерами плоских графов. Решим старинную задачу о трех домах и трех колодцах, суть которой сводится к выяснению вопроса — является ли рассматриваемый граф плоским или нет.

На втором изображении ребра графа пересекаются, графы на первом и третьем изображениях не имеют пересекающихся ребер.

Определение: Граф, который можно начертить так, чтобы его ребра пересекались только в вершинах, называется плоским графом.

Задача. В трех различных домах живут три поссорившиеся между собой соседа. Недалеко от их домов имеются три колодца. Можно ли от каждого дома проложить к каждому из колодцев тропинку так, чтобы никакие две из них не пересекались?

Построим граф, вершины которого А, Б, В, 1, 2, 3 соответствуют домам и колодцам условия задачи, и попробуем доказать, что девятую тропинку — ребро графа, не пересекающее остальные ребра, провести нельзя.

Проведенные в графе на рисунке ребра А1, А2, A3 и В1,В2, ВЗ (соответствующие тропинкам от домов А и В ко всем колодцам). Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей. Если вы рассмотрите каждый из трех случаев «попадания» вершины Б в одну из областей X, Y или Z, то убедитесь, что всякий раз одна из вершин графа 1, 2 или 3 (один из колодцев) будет «недоступной» для вершины Б (т. е. нельзя будет провести одно из ребер Б1, Б2 или Б3. которое не пересекло бы уже имеющихся в графе ребер).
Таким образом, ответ на вопрос задачи будет таким: «Нельзя!»