Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Рассмотрим идеальный одноатомный газ и попытаемся определить давление, которое оказывает этот газ на стенки сосуда с идеально отражающими стенками (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 – Ёмкость с идеально отражающими стенками

То есть будем считать, что удары молекул о стенки – абсолютно упругие. Предположим также, что все молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого направления движется 1/3 от общего числа всех молекул, причём половина из этого числа (т.е. 1/6) движется по направлению к стенке, а вторая половина – от стенки. За время D t площадки D S достигнут только те молекулы, которые находятся в прямом цилиндре объёмом V = D Sv D t. Число таких молекул будет равно N _V = (1/6) n D Sv D t. Каждая молекула при ударе о стенку передаст ей импульс D K ₁ = m ₀ v – (– m ₀ v) =2m ₀ v. Общий импульс D К, переданный площадке DS за время D t, будет равен произведению D K ₁– импульса, полученного при ударе одной молекулы, на число ударов молекул о стенку. Это число ударов равно N _V – числу молекул, достигших площадки D S за время D t. Следовательно,

.

Импульс, передаваемый стенке за единицу времени, согласно второму закону Ньютона, равен силе, действующей на эту площадку:

. (6.7)

После деления выражения (6.7) на площадь D S получим давление, которое оказывает газ на стенки сосуда:

(6.8)

Полученное выражение (6.8) требует уточнения. В реальном газе молекулы движутся во всевозможных направлениях и с различными величинами скоростей. Эту разницу мы учтем, если в формулу (6.8) подставим среднее значение квадрата скорости:

. (6.9)

Введенную соотношением (6.9) скорость принято называть средней квадратичной скоростью. С учётом выражения (6.9) выражение для давления (6.8) примет вид

. (6.10)

Выражение (6.10) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Это уравнение связывает макроскопический параметр – давление газа Р – с характеристиками молекул. Отметим, что точный расчёт с учётом всевозможных направлений движения молекул также даёт ту же самую формулу.