Элементы комбинаторики, формулы размещения, перестановки сочетания

1)Элементы комбинаторики, формулы размещения, перестановки сочетания

Множества, которые можно занумеровать

Конечно {a1,а2…аn}

Счетное {a1,a2…an}

1)Перестановка (в конечном множестве) – какой-то набор состояний из всех элементов данного множества

2)Размещения

k≤n (нарисуйте тут прямую)

Аn^k=n(n-1)…(n-k+1)=n!/(n-k)! – размещение k эл-ов из мн-ва, сост из n эл-ов

3)Сочетания – число различных способов выбрать k предметов из имеющихся n предметов

Сn^k=An^k=n!/k!(n-k)!

2)Вероятность, аксиомы вероятности, вероятностное пространство

P:F→R

Вероятность-фкнкция, заданная на множестве случайных событий,удовл.след.аксиомам:

1)∀A€F P(A)≥0 2)P(Ω)=1

3)A1,A2….Am Ai∩Aj≠0 (i≠J) →P(ʊͫͥͥ(i=1 под ʊ)Aj) =ΣP(Ai)

A-случ событие µ-мн-во всех сл событий

(Ω,А,Р)- вероятностное про-во

Пример:

Ω={r,P}

F={{r},{P},{r,P},0} P½½10 P’⅓⅔10 (знач друг под другом)

3)св-во вер-ти

1)P(Ā)=1-P(A)

2)0≤P(A)≤1

Док-во: P(A)+P(Ā)=1 P(Ā)≥ 1 (по 1 аксиоме) → P(A)≤1

3)P(ø)=0

4)A,B∈F→P(AυB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

5)A,B∈F, AcB (соб А влечет за собой соб В)→P(A)≤P(B)

6)A1,A2…An→P(A1υA2υ..An)≤P(A1)+P(A2)+..P(An)

7)A1,A2… AkcAk+1, ∀k≥1 Пусть A=ʊAi, тогдаP(A)=limP(An)

8)B1,B2…Bn∈F, BkᴐBk+1, ∀k≥1, пустьB∩Bi, тогда P(B)=limP(Bn)

4)Классическое определение вероятности схема равновозможных исходов

Ω={w1,w2…wn}

P({w1})=P({w2})=P({wn})

A={wi1,wi2…wik}, k≤n→ P(A)=k/n

5)Условная вер-то

А,В∈F, P(B)>0

Опр: усл вер-вероятность одного соб при условии, что друг соб уже произошло

Cв-ва: 1)P(Ā|B)=1-P(A|B) 2)P(A|B)≤1 3)P((AυC)|B)=P(A|B)+P(C|B)-P(A∩C)|B)

6)Формула полной вер-ти. Пример применения.

Пусть А1,А2..An -полная систсоб и Ai∩Aj=ø(i ≠j),ʊAi=Ω и ∀AiP(Ai)>0

Тогда ∀B∈FP(B)=∑P(B|Ai)*P(Ai)-полн в-ти

Док-ворассм Р(В)=(В∩Ω)=Р(В∩(ʊАi))=(∑P(B∩Ai)*P(Ai))/P(Ai)=∑P(B|Ai)*P(Ai)

7) Формула Байеса. Примера применения

Пусть A1,A2…Anполнсистсоб, B€F, P(Ai)>0 ∀IP(B)>0

Док-во: (P(B|Ai)*P(Aj)/(P(B))=(P(B∩Aj)*P(Aj))/(P(Aj)*P(B))=P(Aj|B) чтд

Пример: 3 б 3 чер→выбросим 1 шар, затем вытащим 2. А=(выт 2 бел), С1=(выб бел) С2=(выброс черн) С1∩С2=ø, С1υС2=Ω (полнсистсоб)

P(A)=P(A|C1)*P(C1)+P(A|C2)*P(C2)=6/21*5/8+10/21*3/8=60/168

C4^2/C7^2=6/21 C5^2/C7^2/10/21