СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Числом степеней свободы твёрдого тела называют число независимых параметров, определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы отсчёта. Свободное твёрдое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы.
Теорема: при любом движении твёрдого тела проекции скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, равны (рис. 13).
Для доказательства теоремы используем зависимость радиус-векторов точек А и В:
.
Возведём обе части в скалярный квадрат. Имеем
но l=const для твёрдого тела. Дифференцируя по времени это выражение, справедливое для любого момента времени, получим
Заменив в этом равенстве
получим
или
Раскрывая скалярные произведения векторов и сокращая на l, имеем
Теорема доказана.
2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жёстко скрепленная с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.
Свойства поступательного движения характеризует следующая терема: при поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.
Если выбрать две точки А и В твёрдого тела, то радиусы-векторы этих точек удовлетворяют условию (рис. 14)
Если продифференцировать по времени это выражение, справедливое для любого момента времени, то получим
В этом соотношении , . Кроме того, для , постоянного по модулю и направлению вектора, . Таким образом, для любого момента времени имеем
.
Дифференцируя по времени и учитывая, что
, ,
получим
.
Поступательное движение твёрдого тела полностью характеризуется движением одной точки тела, т.е.
(1)
Следовательно, твёрдое тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы и уравнения (1) считаются уравнениями поступательного движения твёрдого тела.
3. ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ