Системы счисления, используемые в ЭВМ. Лекция 2. Понятие системы счисления

Лекция 2. Понятие системы счисления

(Раздать таблицу с системами счисления)!!!!!

Система счисления представляет собой совокупность цифр и правил записи с их помощью чисел.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционной системе счисления величина каждой цифры зависит от ее места положения в числе (например, десятичная система счисления). В непозиционной системе счисления величина каждой цифры фиксирована и не зависит от ее положения в числе (например, римская система счисления). Количество цифр в непозиционной системе не ограничено и очень сложно выполнять арифметические операции. Поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления:

-двоичная,

-восьмеричная,

-шестнадцатеричная,

-двоично-десятичная.

Двоичная система счисления.

Любая информация в современных ЭВМ представляется последовательностью 0 и 1 (бит). Это обусловлено тем, что большинство элементов, из которых состоит ЭВМ, по своей физической природе могут находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний «включено» и «выключено». Такие элементы принято называть двухпозиционными. С помощью двухпозиционных элементов легко изображаются разряды двоичного числа. Одно из устойчивых состояний соответствует цифре 0, а другое – 1. В этом отношении двоичная система счисления имеет преимущества перед остальными системами и поэтому оказывается очень удобной для применения в ЭВМ. В двоичной системе легко реализуются арифметические операции, что дает возможность значительно упростить конструкции вычислительных устройств.

В двоичной системе счисления основание системы равно 2 и для представления чисел используются только два символа 0 и 1. Любое число N в двоичной системе представляется в виде суммы степеней основания 2 с соответствующими коэффициентами:

N= a _n-1 2 ^n-1 + a _n-2 2 ^n-2 +…+ a ₁ 2 ¹ + a ₀ 2 ⁰ + = a _-1 2 ^-1 +…+ a _-m 2 ^-m = ,

где а=0; 1.

Затем с помощью этих коэффициентов число записывается в сокращенной форме.

При разложении числа удобно пользоваться таблицей степеней основания, поэтому этот способ называют табличным.

Таблица степеней
степень	2основание	8 основание	16основание
-3	0,125	0,002	0,00024
-2	0,25	0,016	0,00391
-1	0,5	0,125	0,0625
			4 096
		4 096	65 536
		32 768	1 048 576

Например, число 23,625 можно представить в виде суммы:

23,625 = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1* 2⁰ +1*2^-1 +0*2^-2 + 1*2^-3

Пояснение: ближайшее степень двойки к числу 23 является 2⁴ =16, 23-16=7 –остаток 7. К нему ближайшая степень двойки это 2² = 4; 7-4=3, это 2¹, а 1 это 2⁰.

Теперь рассмотрим дробную часть: ближайшая степень к 0,6 = -1-ая, т.к. 2^-1 =0,5, следующая «подходящая» степень двойки (см. таблицу степеней) =-3, т.к. 2^-3 =0,125.

У двойки с существующей степенью коэффициент a будет равен 1, а у несуществующих = 0.

Отсюда может быть получена его запись в двоичной системе счисления:

23,625₍₁₀₎ = 10111,101_(2).

Восьмеричная система счисления.

Для ускорения процесса перевода чисел бывает удобнее воспользоваться восьмеричной системой счисления, где N = a _n 8 ⁿ + a _n-1 8 ^n-1 +…+ a ₁8 ¹ + a ₀ 8 ⁰

где а = 0,1,2,3,4,5,6,7.

Поскольку 8=2³ , то существует очень простой метод перевода двоичных чисел в восьмеричную систему и наоборот.

Для перевода двоичного числа в восьмеричное надо: разбить двоичное число влево и вправо от запятой на группы из 3 цифр (триады);

И каждой триаде поставить в соответствие его восьмеричный эквивалент:

000 – 0 Пусть, например, N = 1010111011100,10111₂

001 – 1 Можно записать:

010 – 2 N = (001)(010)(111)(011)(100),(101)(110),

011 – 3 т.е. в восьмеричной представлении

100 – 4 N = 12734,56₈

101 – 5

110 – 6

111 – 7

И наоборот, для перехода от восьмеричного к двоичному каждой цифре восьмеричного числа ставят его двоичный эквивалент триаду, затем убирают скобки: 2543₈ = (010)(101)(100)(011) = 10101100011₂