Второй замечательный предел. Признаки существования предела

Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность { а_n } монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших значениях х) функция f (x) заключена между двумя функциями φ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел А при x → x₀, (или x → ∞ ), то функция f (x) имеет тот же предел А.

φ(x) = А, ψ(x) = А.

Рассмотрим числовую последовательность а_n = . Если вычислять значения членов последовательности, то получим а₁ = 2,0, a₂ = 2, 25, a₃ = 2, 37, a₄ = 2, 441, a₅ = 2, 448, …… и можно предположить, что последовательность { а_n } является возрастающей. Действительно, воспользуемся формулой бинома Ньютона:

или

С ростом n увеличивается как число положительных слагаемых (их в формуле n + 1), так и величина каждого слагаемого, т.е. а₁ < а₂ <…..< а_n <…..

Последовательность { а_n }является ограниченной.

Определение. Число е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

е = .

Выше мы фактически установили, что 2 < е < 3. Более точно e ≈ 2,718281…, т.е. число е - иррациональное число.

Можно показать, что функция при х → +∞ и при х → -∞ (где х в отличие от натурального числа n "пробегает" все значения числовой оси - не только целые) имеет предел, равный числе е: