Сходимость последовательности случайных величин по вероятности
Предельные теоремы теории вероятностей
Пусть x 1, x 2, …., xn … — последовательность случайных величин.
Определение. Последовательность x 1, x 2, …., xn … сходится к числу а по вероятности, если для любого e > 0 выполняется
Р (| xn — a | ³ e) ® 0 при п ® ¥.
(т.е. lim п ® ¥ Р (| xn — a | ³ e) = 0)
Эту сходимость обозначают так:
Пусть существуют Е xn = an. Рассмотрим следующую разность
Нас интересует поведение при
Определение. Будем говорить, что последовательность случайных величин x 1, x 2, …., xn … подчиняется закону больших чисел (ЗБЧ), если
Замечание. Пусть x 1, x 2, …., xn — случайные величины, имеющие одинаковое распределение. Тогда an = а. Пусть x 1, x 2, …., xn интерпретируются как измерения некоторой физической величины а. Так как точные измерения невозможны, то x 1, x 2, …, xn — последовательность случайных величин, тогда ЗБЧ означает, что среднее арифметическое первых п измерений хорошо аппроксимирует а:
|
|
Теорема 1 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины x, имеющей математическое ожидание (Е x < ¥), при любом e > 0 имеет место неравенство
Доказательство. Рассмотрим следующую случайную величину h
Тогда
поскольку
С другой стороны
E h = 1× P (êx- E x ê³ e) + 0 × P (êx- E x ê< e) = P (êx- E x ê³ e).
Тогда получаем
Приведем несколько теорем, которые относятся к законам больших чисел.
Теорема 2 (Я. Бернулли). Пусть mn — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р. Тогда
Доказательство. Поскольку Е (mn / n) = р, то неравенство Чебышева дает
Теорема 3 (Чебышева). Пусть x 1, x 2, …, xn — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с Е xi, = а и конечной дисперсией D xi = s 2, i = 1, 2,..., = S ni =1 xi. Тогда для любого e > 0 имеет место
В частности,
Доказательство. Поскольку
то, воспользовавшись неравенством Чебышева мы получим требуемое.
Пример. Технический контролер проверяет партию однотипных приборов. С вероятностью 0,01 прибор может иметь дефект A и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 - дефект В. В каких границах будет заключено практически наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 штук, если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?
Обозначим через mп —число бракованных изделий в партии из п = 1000 штук, Е mп = пр, где р —вероятность иметь дефекта для одного прибора:
0,01 × 0,98 + 0,02 × 0,99 + 0, 01 × 0,02 @ 0,03.
|
|
Отсюда,
Е mп = 1000 × 0,03 = 30, D mп = npq = 30 × 0,97 = 29,1.
Из неравенства Чебышева, получим
и по условию задачи, правая часть этого неравенства превосходит 0,997, т.е.
Отсюда найдем e: минимальное e» 98. Тогда из | mп — 30 | < 98 получим 0 < mп < 128.