Центральная предельная теорема

Пусть x ₁, x ₂, …, x_n … — последовательность независимых случайных величин. Обозначим

Если последовательность x ₁, x ₂, …, x_n … подчиняется ЗБЧ, то в правой части приближенного равенства

стоит неслучайная величина. Нас интересует вопрос: насколько вероятны отклонения левой части от правой.

Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает: при некоторых условиях функция распределения суммы неограниченно растущего числа случайных величин сходится к нормальной функции распределения, т.е.

где, напомним, Ф (х)— функция распределения стандартного нормального закона.

Приведем одну из многочисленных теорем, объединенных под общим названием «центральные предельные теоремы».

Теорема (Леви). Пусть x ₁, x ₂, …, x_n — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с Е x_i = а и конечной дисперсией D x_i = s ², i = 1, 2,..., тогда при п ® ¥ справедливо

Доказательство теоремы Леви можно найти в [3,5].

Замечание. Приведенные ранее теоремы Муавра-Лапласа тоже относятся к центральным предельным теоремам.

Пример. Производится выборочное обследование партии лампочек для определения средней продолжительности их горения. Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9876, утверждать, что средняя продолжительность горения лампочки по всей партии отклонялась от средней, полученной в выработке, не более чем на 10 ч., если среднеквадратическое отклонение продолжительности горения лампочки равно 80 ч.

Пусть п — число требуемых лампочек, x _k - продолжительность горения k-й лампочки, k = 1,2,..., n, и по условию s = 80. Из условий следует, что должно выполняться

С другой стороны, по центральной предельной теореме

Отсюда получаем уравнение для нахождения п:

Из таблицы значений функции Ф ₀(x) (см. Таблицу 1 Приложения) находим п = 400, так как из Ф ₀(x) = 0,4938 находим x = 2,5, следовательно = 8·2,5 = 20.