Доказательство. Из определения 4 вытекают формулы умножения вероя

Доказательство.

Р (В/А) = Р (В Ç А)/ Р (А) = Р (А Ç В)/ Р (А) = { P (a/b) Р (В)}/ Р (А) = { Р (А) Р (В)}/ Р (А) = Р (В).

Из определения 4 вытекают формулы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

P (A₁A₂… A_n) = P (A₁) P_A1 (A₂) P_A1A2 (A₃) … P_{A1A2… An-1} (A_n).

Определение 6. События A_1, A_2, …, A_n независимы в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любое из этих событий и любые комбинации (произведения) остальных событий.

Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P (A₁A₂… A_n) = P (A ₁) P (A ₂)… P (A _n).

P (A ₁ A ₂… A _n) = P (A ₁· A ₂… A _n) = P (A ₁) P (A ₂… A _n).=…= P (A ₁) P (A ₂)… P (A_n).

Определение 7. Событие А₁,А₂,… А_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (А_i ∩ А_j = Ø, для любого i ≠ j) и в совокупности образуют Ω, т.е. .

Теорема 2. Если события А_1,A₂,… А_n образуют полную группу событий, Р (А_i) > 0 (так как не будет определено P (B / A_i)), то вероятность некоторого события B Î S определяется, как сумма произведений безусловных вероятностей наступления события А_i на условные вероятности наступления события B, т.е.

. (1)

Доказательство. Так как события А_i попарно несовместны, то их пересечение с событием B также попарно несовместны, т.е. B∩А_i и B∩А_j – несовместны при i ¹ j. Используя свойство дистрибутивности ((È А_i)Ç В = È(А _iÇ В)), событие B можно представить как . Воспользуемся аксиомой сложения 3 и формулой умножения вероятностей, получим

.

Формула (1) называется формула полной вероятности.

Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса, при дополнительном предположении, что P (B)>0

,

где k = 1, 2, …, n.

Доказательство. P(А_k/B) = P(А_k ∩ B)/P(B)

Вероятности событий P (А_i), i =1, 2, …, n называются априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий P (А_k / B), называются апостериорными вероятностями, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.

Задача. В торговую фирму поступили сотовые телефоны последних моделей от трех производителей Alcatel, Siemens, Motorola в соотношении 1: 4: 5. Практика показала, что телефоны, поступившие от 1-го, 2-го, 3-го производителя, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98 %, 88 % и 92 % случаев. Найти вероятность того, что поступивший в продажу телефон не потребует ремонта в течение гарантийного срока, проданный телефон потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого производителя вероятнее всего поступил телефон.