Несвободным называется движение точки, ограниченное какими-либо связями.
Пусть материальная точка движется по поверхности, имеющей вид
Ф(x, y, z)= 0 (20)
На точку действуют:
F – заданная активная сила (или равнодействующая системы сил);
N – нормальная реакция поверхности;
T – сила трения, всегда направленная в сторону, противоположную вектору скорости.
Основное уравнение динамики имеет вид
. (21)
Проектируя (21) на оси координат получим дифференциальные уравнения движения
(22)
В уравнениях (22) необходимо определить положение сил N и T по отношению к координатным осям. Используя уравнение поверхности (20) на основании известных математических зависимостей имеем
(23) | дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме Лагранжа I рода |
где - градиент функции (20);
- частные производные от (20);
- скорость материальной точки.
При решении системы (23) к ней необходимо присоединить уравнение (20) и уравнение для силы трения, например, закон Кулона
T=fN,
где f – коэффициент трения скольжения.
После чего из пяти уравнений можно найти пяти неизвестных: x, y, z, N, T.
В тех случаях, когда точка движется по пространственной кривой, удобно пользоваться дифференциальными уравнениями несвободного движения в проекции на естественные оси. При этом в уравнения (4) войдут реакция поверхности N и сила трения T.
. (24)
Динамика относительного движения
Пусть материальная точка движется под действием силы F. Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1.
Основное уравнение динамики в неподвижной системе
. (25)
Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса
, (26)
где aабс – абсолютное ускорение;
aотн – относительное ускорение;
aпер – переносное ускорение;
aкор – кориолисово ускорение.
Перепишем (25) с учетом (26)
,
. (27)
Введем обозначения - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид
. (28)
Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.