2014-02-09
3073
Рассчитаем моменты инерции некоторых тел при различном расположении оси вращения.
1.Кольцо (тонкостенный цилиндр), ось вращения проходит через центр масс. (рис.3).
Рис.3а. Рис.3б.
Пусть кольцо (цилиндр) имеет радиус 
и массу 
. Для расчета используем формулу 
. В этом случае 
для всех элементарных масс 
. Поэтому 
.
2. Однородный стержень, ось вращения проходит через конец стержня.
Разобьем стержень на несколько частей длиной
с массой
, расположенных на разных расстояниях 
от оси вращения. Чем больше разбиений, тем точнее можно сосчитать момент инерции (рис.4). Поэтому удобней сумму заменить интегрированием:
где - масса всего стержня. Введем плотность и выразим через нее массу.
Рис.4.
,
где 
- объем элемента стержня площадью поперечного сечения 
и длины . Тогда
,
где 
- длина стержня. После интегрирования получаем:
,
где 
- объем всего стержня. Таким образом
.
Если ось вращения стержня проходит через центр масс стержня, то
.
В таблице 1 приведены значения моментов инерции некоторых тел.
|
|
|
Таблица 1
| Тело | Положение оси вращения | Момент инерции |
| Полый тонкостенный цилиндр радиусом R | Ось симметрии | mR2 |
| Сплошной цилиндр или диск радиусом R | Ось симметрии | (1/2)mR2 |
| Прямой тонкий стержень длиной l | Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину | (1/12)ml2 |
| Прямой тонкий стержень длиной l | Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец | (1/3)ml2 |
| Шар радиусом R | Ось проходит через центр шара | (2/5)mR2 |
Если известен момент инерции 
относительно оси проходящей через центр масс, то можно найти момент инерции относительно некоторых других осей по теореме Штейнера:
(15)
Момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рис.5.
Применим теорему Штейнера для определения момента инерции однородного стержня, длиной . Пусть 
. Величина 
(смотри таблицу). Тогда
Рис.6.
.
