Закон сохранения момента импульса

Продифференцируем момент импульса по времени

Величина есть скорость материальной точки, связанная с ее импульсом соотношением . Поэтому первое слагаемое равно нулю как векторное произведение коллинеарных векторов и , () Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения Ньютона

Тогда

. (1)

Это уравнение моментов относительно неподвижной точки. Производная по времени момента импульса материальной точки (относительно неподвижной точки) равна моменту силы относительно этой же точки.

Уравнение моментов (1) можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Пусть система состоит из n материальных точек вращающихся вокруг центра 0.

…………………….

где - момент внутренних сил, - момент внешних сил.

По третьему закону Ньютона = 0, так как внутренние силы входят попарно, сила с которой одно тело действует на другое равно и противоположно направлена сила с которой второе тело действует на первое. Полный момент этих сил равен нулю (см. рис.)

Исходя из этого уравнение примет вид

где - момент импульса системы материальных точек.

= - момент всех сил действующих на систему материальных точек.

(2)

Основной закон динамики вращательного движения для системы материальных точек. Производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно этой точки.

Если момент всех внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же неподвижной точки остается постоянным во времени.

и или (3)

Выражение (3) – математическая запись закона сохранения момента импульса. Если мы продифференцируем по времени момент импульса относительно неподвижной оси, то получим уравнение моментов относительно неподвижной оси

(4)