10. Если функции, имеющие предел в некоторой точке совпадают на множестве сгущающемся в этой точке, то их пределы равны.
20. Если последовательности, имеющие предел, содержат совпадающие подпоследовательности, то их пределы равны.
30. Если функции совпадают в проколотой окрестности предельной точки, то их пределы равны в случае существования.
40. Если две последовательности совпадают, начиная с некоторого номера, то их пределы существуют или не существуют одновременно, и в случае существования равны.
50. Если из двух функций одна не превышает другой в проколотой окрестности предельной точки, то предел первой не превосходит предела второй в случае их существования.
60. Если предел одной функции больше предела второй в некоторой точке, то существует проколотая окрестность этой точки, в которой первая функция больше второй.
∆ 10,20: , и имеется множество :
.
Тогда .
30,40: Во-первых: .
Во-вторых: .
60: Пусть ; ; , тогда
,
.
Выберем ; ,
тогда .
50: Пусть .
Докажем, что .
Доказательство здесь проведем от противного.
Допустив, что , получим по п.60 ,
а это противоречит условию теоремы. ▲
и, наконец
Т0. (Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах).
Если две функции имеют общий предел и в окрестности предельной точки третья функция заключена между ними, то она имеет тот же предел.
∆ следует из 50 и 60.
Пусть ,
,
и, т.к. и ,
то
т.е. . ▲