2014-02-24
2051
Два подхода к выявлению предпочтений в ЗПР с нечисловыми критериями.
Выявить предпочтение на множестве обьектов А, это значит указать множество всех тех пар обьектов (а, b), для которых обьект а предпочтительней, чем b в каком-то смысле. Если между а и b нельзя установить предпочтение, то эти обьекты либо безразличны, т.е. между ними отношения безразличия, либо они не сравнимы.
При выявлении предпочтения возможны два подхода:
1. Субьективно-вкусовой или психологический подход.
Пример:
Пусть имеем четыре напитка: чай, кофе, лимонад, компот. Для ЛПР чай лучше компота, кофе лучше компота и лимонада, а лимонад и компот — равноценны. Тогда можно составить таблицу “доминирование-безразличие”. Будем заполнять таблицу по принципу:
аij=1, если i -ый объект лучше объекта j;
аij=0, если i -ый объект хуже объекта j или безразличен к нему
Таблица для нашего примера будет иметь вид:
| чай | кофе | компот | лимонад | |
| Чай | ||||
| Кофе | ||||
| Компот | ||||
| лимонад |
Таблица заполнена неполностью, потому что часть предпочтений неизвестна.
|
|
|
2. Логический подход — включает три этапа:
· выделяются частные критерии, по которым происходит выбор предпочтений;
· составляется таблица «альтернативы-частные критерии», в которой для каждой альтернативы указываются значения количественных частных критериев или ранги качественных критериев.
· выбирается решающее правило для определения лучшей альтернативы.
Пример. Пусть каждый из напитков в предыдущей таблице характеризуется тремя частными качественными критериями: цвет, запах, вкус. Тогда можно построить таблицу
| Цвет | запах | вкус | |
| Чай | |||
| Кофе | |||
| Компот | |||
| Лимонад |
Поскольку рассматриваемые частные критерии – качественные, им даны не количественные, а ранговые оценки (по предпочтениям). Так по цвету предпочтения напитков на ранговой шкале располагаются следующим образом: компот имеет единичный, низший ранг, далее следуют лимонад, кофе и чай, имеющий высший ранг – 4. Ранговые оценки можно рассматривать как баллы. На их основе нужно определить лучший напиток. Для этого необходимо выбрать или создать какое-то решающее правило.
1. А бсолютное предпочтение. Альтернатива аi предпочтительней альтернативы аj, если по всем частным критериям аi предпочтительней аj или эквивалентна ей. Абсолютное предпочтение обладает свойством транзитивности (если А предпочтительней B и B предпочтительней С, то A предпочтительней C).
Пример:
Пусть надо выбрать место работы А,В или С при наличии следующей информации
|
|
|
| Место работы | Зарплата | Отпуск | Время поездки |
| А | |||
| В | |||
| С |
В данном примере абсолютное предпочтение имеет место работы В. В примере с напитками ни один из них абсолютного предпочтения не имеет.
2. Предпочтение по правилу большинства. Альтернатива аi лучше, чем аj, если количество частных критериев, по которым аi лучше аj, больше количества критериев, по которым ai хуже aj.
Пример:
| Место работы | Зарплата | Отпуск | Время поездки | Предпочтение |
| А | A  B
| |||
| В | C B
| |||
| С | A C
|
Альтернатива А лучшая, так как она имеет предпочтение по большинству частных критериев перед обеими другими. В примере с напитками предпочтительнее кофе, который по сравнению с любым другим напитком лучше по двум критериям из трёх.
3. Критерий наибольшей суммы балльных оценок. Вместо количественных оценок частных критериев можно проставлять их ранговые значения. Значение ранга рассматривается как балльная оценка, причем за наихудшее значение выставляется наименьший балл — 1, а за наилучшее значение — наибольший балл. Тогда критерий предпочтения формулируется так: альтернатива аi лучше альтернативы аj, если сумма балльных оценок для аi больше, чем для аj
Пример:
| Место работы | Зарплата | Отпуск | Время поездки |
| А | (200) 3 | (24) 1 | (30) 2 |
| В | (175) 1 | (48) 3 | (50) 1 |
| С | (190) 2 | (30) 2 | (10) 3 |
Наилучшая альтернатива — С (сумма баллов 7 - наибольшая). В примере с напитками лучший напиток – кофе (сумма баллов 9)
При использовании критериев предпочтения по правилу большинства или суммы балльных оценок часто на альтернативу налагается дополнительное требование – отсутствие частного критерия с наихудшим значением. Такие альтернативы сразу исключаются из рассмотрения. В примере с напитками это правило исключает из рассмотрения чай и компот, у которых есть наихудшие оценки.
При использовании критериев предпочтения по правилу большинства для определения лучшей альтернативы удобно применять графы предпочтений.
Стрелка, идущая от А к В, обозначает предпочтение альтернативы А перед В. Альтернатива, имеющая большее количество исходящих стрелок, – лучшая по правилу большинства. На левом рисунке лучшая – альтернатива С, на правом – альтернатива А, так как она равноценна альтернативе С (стрелка с двумя направлениями), но имеет в отличие от С дополнительное предпочтение перед В.
При большом количестве альтернатив и частных критериев непосредственное определение лучшей альтернативы по критерию большинства становится затруднительным из-за сложности подсчёта числа лучших и худших критериев для каждой альтернативы. В этом случае для выделения наилучшей альтернативы следует составлять таблицу предпочтений.
Пример. Пусть необходимо выбрать из 7 моделей телевизоров лучшую. Для выбора используются 4 частных критерия:
Р1 — цена, 4 балльная шкала оценки;
Р2 — помехоустойчивость, 4 балльная шкала оценки;
Р3 — размер экрана, 3 балльная шкала оценки;
Р4 — дизайн, 5 балльная шкала оценки.
ЛПР проставило каждому частному критерию оценки, представленные в следующей таблице:
| альтернативы | Р1 | Р2 | Р3 | P4 |
| a | ||||
| b | ||||
| c | ||||
| d | ||||
| e | ||||
| f | ||||
| g |
По правилу большинства и отсутствия наихудшего значения составляется таблица предпочтений для альтернатив: если альтернатива b предпочтительней a, то на пересечении строки b и столбца a ставится 1, иначе 0. Так как альтернативы a, f и g имеют худшие баллы, они не имеют предпочтений перед другими и в соответствующих им строках всюду стоят нули.
| a | b | c | d | e | f | g | |
| a | |||||||
| b | |||||||
| c | |||||||
| d | |||||||
| e | |||||||
| f | |||||||
| g |
Альтернатива е лучше, чем большинство альтернатив (6 предпочтений).
|
|
|
5.7. Парадоксы голосования .
В ЗПР с нечисловыми критериями могут возникнуть тупиковые ситуации, не позволяющие решить задачу на базе обычных критериев, основанных на здравом смысле. Такие ситуации носят название парадоксов. Они могут возникнуть при определении лучшего объекта методом голосования, который, как обычно считается, должен дать наилучшее коллективное решение. Однако это не всегда так. Рассмотрим парадоксы голосования на следующем примере. Пусть имеется 4 типа игрушек:
· ЦП — цветные птички;
· СП — серебристые птички;
· ЦР — цветные рыбки;
· СР — серебристые рыбки.
Пусть имеется четыре группы детей, предпочтения которых распределились следующим образом:
· группа 1 СР СП ЦР ЦП — 10%
· группа 2 СП ЦР ЦП СР — 20%
· группа 3 ЦР ЦП СР СП — 30%
· группа 4 ЦП СР СП ЦР — 40%
Вопрос: Какой тип игрушек надо выпускать, чтобы удовлетворить наибольшее количество детей?
1. Пусть вопрос решается по относительному большинству. Тогда в первом туре голосования выигрывают сторонники ЦП, так как ЦП на первое место поставили 40% голосовавших. Но тогда сторонники ЦР, отдавшие предпочтение ЦР перед ЦП потребуют второго тура голосования и соберут 10+20+30=60% голосов, т. е. больше чем сторонники ЦП. Но тогда сторонники СП, отдавшие предпочтение СП перед ЦР, потребуют третьего тура голосования и выиграют, так как наберут 10+20+40=70% голосов, т. е. больше чем сторонники ЦР.
Для дальнейшего подсчета голосов составим таблицу голосования, в которой учтены указанные выше предпочтения всех четырех групп детей для каждой пары игрушек. Число в таблице, находящееся на пересечении строки X и столбца Y, указывает, какое общее количество голосов собрала игрушка X при её сравнении с игрушкой Y Так предпочтению ЦП перед СП отдали в сумме 70 процентов голосовавших, а обратному предпочтению только 30.
|
|
|
| ЦП | ЦР | СП | СР | |
| ЦП | Х | |||
| ЦР | Х | |||
| СП | Х | |||
| СР | Х |
Из этой таблицы вытекают следующие соотношения:
В соответствии с этой таблицей в четвертом туре голосования сторонники СР выиграют у сторонников СП, т.к. СР/СП=80/20. Но тогда снова воспрянут духом сторонники ЦП, потребуют пятого тура голосования и выиграют его у сторонников СР, так как ЦП/СР=90/10, после чего можно начинать все сначала. Таким образом, принцип относительного большинства не позволяет определить наилучший тип игрушки.
Рассмотрим другие системы голосования.
2. Кубковая или олимпийская система. В этом случае результат голосования будет зависеть от разбиения участников на группы.
В третьем варианте, при выигрыше ЦП у СП, можно сравнивать ЦП с равносильными ЦР и СР (у них ничья). Но оказывается, что результат будет зависеть от выбора первого соперника ЦП — если им будет СР, а потом ЦР, то выигрывает ЦР, если наоборот — сначала соперник ЦР, а потом СР, то результатом будет ничья. Таким образом, и здесь результат голосования неоднозначен.
3. Турнирная система. Будем рассматривать таблицу как турнирную. Тогда каждый вид игрушки собирает число голосов, равное сумме чисел в соответствующей строке таблицы голосования:
ЦП=40+70+90=200
ЦР=140
СП=120
СР=140
Так как мы хотим определить лучшую игрушку, то можно удалить из таблицы голосования худшую игрушку, вычеркнув соответствующую строку и столбец для СП.
После удаления из таблицы строки и столбца СП получаем после пересчета:
ЦП=130
ЦР=110
СР=60
После аналогичного удаления СР получаем:
ЦП=40
ЦР=60
Выигрывает ЦР, хотя в двух предыдущих случаях выигрывала ЦП. Выигрыш ЦР — нелогичен. Таким образом, ни одна из коллективных систем не даёт однозначного ответа на вопрос о лучшей игрушке. Чтобы определить лучшую игрушку, нужно скорректировать понятие оптимальности. Это понятие оптимальности формируется с помощью критерия Неймана-Моргенштерна.
