Пример 1. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит

Решите неравенство

Показать решение

1

Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит

Для x [0; 2π] решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2π n, то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2π n, где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где

Ответ. где

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.

2

Рисунок 3.2.5.1

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Модель 3.6. Решение тригонометрических неравенств