Эквивалентность определений

Предел по базе множеств

Окрестностное определение по Коши

Предел функции по Коши

Предел функции по Гейне

Определения

Определение

Функция имеет предел в точке, предельной для области определения функции, если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки, образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки.

Рассмотрим функцию, определённую на некотором множестве, которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке, если для любой последовательности точек, сходящейся к, но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности), последовательность значений функции сходится к.^[1]

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке, если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.^[1]

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке, если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в. Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе.

Пусть — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

· число A называется пределом функции по (при) базе, если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент B базы, колебание функции на котором не будет превосходить величину ε:

ω(f, B) < ε.

Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение «» и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с, то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «» и читается «при x, стремящемся к a».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

·, где;

·, где.

Соответственно этому вводятся две базы:

· «», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «»;

· «», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «».

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.^[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.