Операционное исчисление

Операционное исчисление широко используется в физике, механике, электротехнике, автоматике, телемеханике и т.д. Основоположником операционного исчисления считают английского инженера-электрика О. Хевисайда (1850 – 1925).

Преобразование Лапласа

Пусть функция f (t) действительной переменной t, определённая при t ≥ 0 (при −∞ < t < +∞, берут f (t) = 0 при t < 0), кусочно непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.

Для обеспечения существования некоторых интегралов в бесконечном интервале 0 < t < +∞ наложим на функцию f (t) дополнительное условие: пусть существует число М > 0 и s ₀ > 0 такие, что

| f (t)| < М (1)

при любом t [0, +∞); число s ₀ − показатель роста функции f (t).

Рассмотрим функцию

е^−р^tf (t), (2)

где р = а + ib (a > 0 или Re p > 0) – некоторое комплексное число.

Тогда функция (2) является комплексной функцией действительной переменной t:

е^−р^tf (t) = е⁻ ⁽ ^a ⁺ ^ib ⁾ ^tf (t) = е⁻^atf (t) е⁻^ibt =

= е⁻^atf (t)− iе⁻^atf (t).

Рассмотрим несобственный интеграл:

= − i . (3)

Если f (t) удовлетворяет условию (1) и a > s ₀, то интегралы, стоящие в правой части (3), существуют и абсолютно сходятся.

Действительно, оценим 1-ый интеграл:

|| ≤ < M = M =

= ,

т.е. интеграл сходится абсолютно.

Аналогично оценивается 2-ой интеграл. Итак, существует. Он определяет некоторую функцию от р, которую обозначим F (p):

F (p) = . (4)

Функция F (p) – функция комплексного переменного и она является аналитической в полуплоскости Re p > s ₀:

Функция F (p) называется изображением Лапласа функции f (t), L - изображением, просто изображением функции f (t) или преобразованием Лапласа.

Функцию f (t) называют начальной функцией или оригиналом.

Если F (p) есть изображение функции f (t), то будем писать:

F (p) f (t)

или

f (t) F (p),

или

L { f (t)} = F (p).

Процесс нахождения изображения для заданного оригинала и обратно, нахождение оригинала по известному изображению называется операционным исчислением.

Теорема единственности. Если две непрерывные функции φ (t) и ψ (t) имеют одно и то же L −изображение F (p), то эти функции тождественно равны.

Из теоремы следует: если при решении практической задачи найдено изображение искомой функции, а потом по изображению найдена сама функция, то она единственная.

Изображения простейших функций

1. Функцию

f (t) =

называют единичной функцией Хевисайда и обозначают σ ₀(t):

Очевидно, что показатель роста этой функции s ₀ = 0. Найдем L -изображе-

ние этой функции в области Re p > 0:

L { σ ₀(t)} == = = .

Таким образом,

1 или σ ₀(t) . (5)

2. f (t) = .

L {} == = +

+ p = p = = p (−−

− p ) = p − p ² L {}.

Отсюда

L {} = (Re p > 0), т.е.

. (6)

3. f (t) = .

При выводе формулы (6) мы получили

L {} = p , т.е. L {} = р L {}. Откуда

L {} =

или

. (7)

Изображение функции f (αt)

Теорема подобия. Если

f (t) F (p), то

f (αt) F () (8)

(α > 0, Re p > ).

○ Найдем изображение функции f (αt):

L { f (αt)}== = = F (), т.е.

f (αt) F (). ●

Пусть f (αt) = . Если

, то ∙ или

. (9)

Пусть f (αt) = . Если

, то ∙ или

. (10)

Свойство линейности

Теорема. Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если

f (t) = (с_i = const) (*)

F (p) f (t), F_i (p) f_i (t),

то

F (p) = . (11)

○ Умножая все члены равенства (*) на е^−р^t и интегрируя по t в пределах от 0 до +∞ (вынося множители с_i за знак интеграла), получим

но

и .

Тогда . ●

Пример. Найти изображение функции

f (t) = 3 σ ₀(t) + 2.

□

В силу (5), (10) и (11) имеем

L { f (t)} = 3 L { σ ₀(t)} + 2 L {} = +

или

F (p) = + .

■

Пример. Найти оригинал изображения

F (p) = + .

□

Представим изображение в виде

F (p) = 2∙+ ∙.

Имеем

σ ₀(t), .

Следовательно, оригинал

f (t) = 2 σ ₀(t) +

или

f (t) = 2 + .

■

Теорема смещения

Теорема. Если

F (p) f (t),

то

F (p + α) е^−α^t f (t) (12)

(Re (p + α) > s ₀).

○ Найдем изображение функции е^−α^tf (t):

L { е^−α^tf (t)} === F (p + α),

т.е.

F (p + α) е^−α^t f (t). ●

Доказанная теорема позволяет значительно расширить класс изображений, для которых легко находятся начальные функции.

Так как 1, то по формуле (12)

е^−α^t (13)

е^α^t. ()

Вычтем из () равенство (13) и разделим на 2:

(− ) (е^α^t − е^−α^t)

или

Sh αt. (14)

Сложим () с (13) и разделим на 2:

Сh αt. (15)

Так как , то

е^−α^t . (16)

Так как , то

е^−α^t . (17)

Пример. Найти начальную функцию, изображение которой задается функцией

F (p) = .

□

Преобразуем F (p):

F (p) = = = = .

Следовательно, согласно (16):

F (p) е⁻ ⁵ ^t

или

f (t) = е⁻ ⁵ ^t .

■

Пример. Найти оригинал изображения

F (p) = .

□

Преобразуем изображение:

F (p) = = = + = +

+ ∙.

Следовательно,

F (p) е⁻^t + е⁻^t

или

f (t) = е⁻^t + е⁻^t .

■

Дифференцирование изображения

Теорема. Если

F (p) f (t),

то

(−1) ^п tⁿ f (t) (18)

или

(− t) ⁿ f (t) (1)

○ Если Re p > s ₀, где s ₀ – роста функции f (t), то интеграл

существует при любом п = 1, 2, ….

Но этот интеграл можно рассматривать как производную п -го порядка по параметру р от интеграла

Например, при п = 1:

= .

Таким образом,

или

(−1) ^п = .

Окончательно,

(−1) ^п tⁿ f (t). ●

Пример. Известно, что 1. Найти изображение функции tⁿ.

□

На основании (18)

при п = 1:

(−1) t или t;

при п = 2:

(−1)² t ², −(−) t ²

или

t ²;

при п = 3:

(−1)³ t ³, −(−) t ³

или

t ³.

Тогда для произвольного п:

t^п. (19)

Пример. Известно, что е^−α^t. Найти изображение функции tе^−α^t.

□

На основании (18) при п = 1:

(−1) tе^−α^t

или

tе^−α^t.

■

Дифференцирование оригинала

(изображение производных)

Теорема. Если

F (p) f (t),

то

р F (p) − f (0) (t) (20)

(Re p > s ₀).

При этом предполагается, функция f (t) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную (t) на [0, +∞) c разрывами первого рода и показатели роста (t) и (t) равны s ₀.

○ По определению изображения

L {(t)} === =

=(е⁻^р^tf (t) + p ) = − f (0) + pF (p) (Re p > s ₀),

потому что

| е^−р^cf (c) | ≤ е^−р^cM = M 0.

Таким образом,

р F (p) − f (0) (t). ●

Следствие. Справедлива формула изображения для производной п -го порядка:

p^пF (p) − p^п ⁻¹ f (0) − p^п ⁻² (0) − …− pf ⁽ ⁿ ⁻²⁾(0) − f ⁽ ⁿ ⁻¹⁾(0) f ⁽ ⁿ ⁾(t). (21)

○ Пусть

φ (t) = (t) и Φ (p) φ (t) = (t). В то же время

рF (p) − f (0) (t),

следовательно,

Φ (p) = рF (p) − f (0).

Найдем изображение функции

(t) = (t):

рΦ (p) − φ (0) (t) = (t).

Значит,

р (рF (p) − f (0)) − (0) (t)

или

p ² F (p) − pf (0) − (0) (t)

и т.д. ●

Замечание. Если

f (0) = (0) = … = f ⁽ ⁿ ⁻¹⁾(0) = 0,

то

p^пF (p) f ⁽ ⁿ ⁾(t).

Пример. Найти изображение функции

f (t) = .

□

Пусть F (p) = f (t). Тогда

рF (p) − f (0) (t).

Но

f (0) = = 1,

(t)=−2= −−.

Следовательно,

рF (p) − 1 = −,

откуда

F (p) = (1 − ) = .

■

Интегрирование оригинала

Теорема. Если

F (p) f (t),

то

. (22)

Пример. Найти изображение функции

□

Имеем

По теореме об интегрировании оригинала

■

Интегрирование изображения

Теорема. Если интеграл

сходится, то он является изображением функции

т.е. . (23)

Следствие.

= , (24)

если сходятся соответствующие несобственные интегралы.

Пример. Найти изображение функции

□

Известно, что . Поэтому по теореме об интегрировании изображения

==−,

т.е.

− .

■

Пример. Найти интеграл

□

Используя предыдущий пример и последнее следствие, получим

== = .

■

Запаздывание оригинала

Теорема. Пусть f (t) > 0 при t < 0, тогда

L { f (t – t ₀} = L { f (t)}, (25)

где t ₀ – некоторая точка.

○ Имеем

L { f (t – t ₀} = = + =

== = = =

= L { f (u)}. ●

Пример. Так как

L { σ ₀(t)} = ,

то

L { σ ₀(t – h)} =

■

Решение дифференциальных уравнений операционным методом

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение п -го порядка с постоянными коэффициентами

а_пх ^(п)(t) + а_п ₋₁ х ^{(п −1)}(t) + … + а ₁(t) + а ₀ х (t) = f (t). (1)

Требуется найти решение уравнения (1) для t > 0 при начальных условиях

х (0) = х ₀, (0) = , …, х ^{(п- 1)}(0) = х ₀^{(п- 1)}. (2)

Другими словами, требуется решить задачу Коши.

Предположим, что функция х (t) является решением (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). Тогда после подстановки этой функции в (1) мы получим тождество. Значит, функция, стоящая в левой части (1), и функция f (t) имеют одно и то же L -изображение:

L {} = L { f (t)}.

В силу следствия теоремы о дифференцировании оригинала имеем

L {} = p^kL { х }− p^k ⁻¹ x (0) − … − p х ⁽ ^k^- ²⁾(0) − х ⁽ ^k^- ¹⁾(0).

Поэтому, используя свойство линейности изображения, получим

а_пL {}+ а_п- ₁ L {}+…+ а ₀ L { х } = L { f (t)}:

а_п (p^пL { х } − p^п ⁻¹ x ₀ − …− p х ₀^{(п- 2)} − х ₀^{(п- 1)}) + а_п- ₁(p^п- ¹ L { х } − p^п ⁻² x ₀−…− pх ₀^{(п- 3)}− х ₀^{(п- 2)}) +

+…+ а ₁(L { х }− x ₀) + а ₀ L { х } = L { f (t)}.

Введем обозначения:

L { х } = (р), L { f (t)} = F (p).

Тогда

(р)∙(а_пp^п + а_п- ₁ p^п- ¹+…+ а ₁ p + а ₀) = а_п (p^п ⁻¹ x ₀+ p^п ⁻²+…+ х ₀^{(п- 1)}) +

+ а_п- ₁(p^п ⁻² x ₀+ p^п ⁻³+…+ х ₀^{(п- 2)}) +… + а ₂(px ₀+ ) + а ₁ x ₀+ F (p). (3)

Уравнение (3) называют вспомогательным уравнением или изображающим уравнением, или операторным уравнением.

Видно, что коэффициент при (р) в (3) получается из левой части (1) формальной заменой производных на степени p^k. Обозначим этот коэффициент через

R_n (p) = (а_пp^п + а_п- ₁ p^п- ¹+…+ а ₁ p + а ₀).

Очевидно, что этот коэффициент является левой частью характеристического уравнения для дифференциального уравнения (1).

Правую часть уравнения (3), кроме F (p), обозначим через Ψ_п- ₁(р):

Ψ_п- ₁(р) = а_п (p^п ⁻¹ x ₀+ p^п ⁻²+…+ х ₀^{(п- 1)}) + а_п- ₁(p^п ⁻² x ₀+ p^п ⁻³+…+ х ₀^{(п- 1)}) +…

…+ а ₂(px ₀+) + а ₁ x ₀.

Тогда уравнение (3) примет вид:

(р)∙ R_n (p) = F (p) + (р)

или

(р) = + . (4)

Если начальные условия нулевые, т.е.

х ₀ == … = х ₀^{(п- 1)} = 0,

то формула (4) запишется

(р) = . ()

Если теперь по изображению (4) или () мы найдем оригинал, то в силу теоремы единственности это и будет искомое решение х (t).

Пример. Решить уравнение

+ 4 х = 2, х (0) =(0) = 0 или х ₀ == 0.

□

Так как начальные условия нулевые, то используем формулу (). Имеем

2 = F (p), R ₂(p) = р ² + 4.

Следовательно,

(р) = .

Разложим изображение на простейшие дроби:

(р) = = + = =!

2 = (А + В) р ² + Ср + 4 А,

! = ∙− ∙.

Следовательно,

(р) = = ∙− ∙− ∙,

т.е.

х (t) = − ∙.

■

Пример. Решить уравнение

+ − 2 х = 0, х ₀ = 1, = 0.

□

Имеем

(р) х (t), р (р) – х ₀ (t),

р ²(р) – рх ₀ − (t).

Подставляем в уравнение с учетом начальных условий

р ²(р) – р + р (р) – 1− 2(р) = 0,

(р)(р ² + р − 2) = р + 1,

(р) = .

Разложим изображение на простейшие дроби:

(р) = = =+ = =!

р + 1 = (А + В) р + (− А + 2 В),

! = ∙+ ∙.

Следовательно,

(р) = = ∙+ ∙ e⁻ ² ^t + e^t,

т.е.

х (t) = e⁻ ² ^t + e^t.

■

Нахождение оригиналов для рациональных дробей

При решении дифференциальных уравнений операционным методом мы столкнулись с определением решения ДУ (определением оригинала) от рациональных дробей, выражающих изображение.

Пусть изображение некоторой функции есть правильная рациональная дробь. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших (элементарных) дробей четырех видов:

1. ;