Теорема Котельникова В.А

Восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам.

Допустим, что дискретный сигнал s_T(t) получен путем временной дискретизации аналогового сигнала s(t), спектр которого ограничен частотой

Интервал дискретизации:

Как показано в предыдущем параграфе при этом возможно полное восстановление аналогового сигнала из дискретного при помощи идеального ФНЧ.

Найдем импульсную характеристику ФНЧ:

Заметим, что физическая реализация идеального ФНЧ невозможна, т.к. невозможна такая импульсная характеристика.

Учитывая связь спектральных характеристик дискретного и аналогового сигналов можно утверждать следующее:

(1)

где

- Ряд Котельникова.

С точки зрения математики это выражение представляет собой разложение аналогового сигнала по системе ортогональных функций - функция отсчетов, повторяет по форме импульсную характеристику идеального ФНЧ.

S(nT) – дискретные отсчеты, выполняют функцию коэффициентов разложения.

С точки зрения радиотехники для восстановления аналогового сигнала s(t) по его дискретным отсчетам нужно каждый отсчет s(nT) умножить на соответствующую функцию отсчетов и результаты сложить.

На основе проведенных рассуждений сформулируем теорему отсчетов во временной области. Теорема Котельникова В.А.:

1. Аналоговый сигнал s(t), спектр которого ограничен частотой полностью определяется своими дискретными отсчетами , взятыми через интервал .

2. Значение аналогового сигнала s(t) в любой момент времени может быть найдено с помощью теоремы Котельникова по его отсчетам.

Теорема Котельникова является основой дискретной и цифровой обработки сигналов.

Замечание по применению теоремы Котельникова:

1.Теорему Котельникова можно применять лишь для сигналов, обладающих ограниченным спектром, т. е. для сигналов бесконечно протяженных во времени.

Для сигналов бесконечно протяженных во времени число отсчетов должно быть тоже бесконечным.

Все реальные сигналы ограничены во времени, следовательно, и спектр не ограничен по частоте.

Для таких сигналов , то есть дискретизация невозможна.

На практике из этого противоречия выходят следующим образом. В качестве сигналов берут активную длительность: . А в качестве верхней граничной частоты берут активную ширину спектра .

Число отсчетов, которое необходимо для представления реального сигнала:

Где N –число степеней свободы во временной области.

- база сигнала.

В зависимости от величины базы сигнала все сигналы можно разделить на две группы:

- простые

- сложные

2.Математическая модель дискретного сигнала в виде последовательности -импульса физически невозможна, т. к. невозможна реализация - импульса.

На самом деле в качестве дискретных сигналов используют последовательности импульсов конечной длины.

3.Реализация идеального ФНЧ невозможна. На практике применяют реальный ФНЧ.

Перечисленные замечания говорят о том, что применение теоремы Котельникова для реальных сигналов всегда связано с искажениями при восстановлении аналогового сигнала по дискретным отсчетам.

Рассмотрим пример восстановления аналогового сигнала по его отсчетам.