Некоторым обобщением понятия длины вектора (оценкой величины вектора) является величина, называемая норма вектора. Функция
является нормой вектора, если она обладает следующими свойствами:
1) ³ (равенство только при );
2) ; (– число, – вектор)
3) – неравенство треугольника.
Чтобы отличить одну норму от другой используются индексы при двойной черте.
Полезный класс векторных норм – это p-нормы, определяемые как
. (2.1.35)
Наиболее важными из p -норм являются 1, 2 и нормы:
(2.1.36)
– норма по модулю (частный случай (2.1.35) при );
(2.1.37)
– «евклидова» норма (частный случай (2.1.35) при );
(2.1.38)
– максимум модуля для элементов вектора (частный случай (2.1.35) при ).
Очевидно, что евклидова норма . Это соответствует естественному понятию длины вектора в двумерном и трехмерном пространстве.
Единичным вектором по отношению к норме называется вектор , удовлетворяющий равенству .
Классический результат о p -нормах – неравенство Гельдера
. (2.1.39)
Очень важным частным случаем этого неравенства является неравенство Коши-Шварца:
|
|
. (2.1.40)
Все нормы в эквивалентны, т.е. для двух норм и в существуют положительные константы и , такие, что
(2.1.41)
для всех из пространства . Например, для вектора из имеем:
;
;
. (2.1.42)
В вычислительной математике большую роль играет понятие «близости» двух векторов. Это соответствует понятию «расстояния», определяемому формулой
, (2.1.43)
т.е. расстояние между векторами равно норме от их разности:
, где . (2.1.44)
Оценка близости двух векторов используется для определения погрешности решения в итерационных методах.
Пусть вектор пространства есть приближение к вектору пространства . Для заданной векторной нормы будем говорить, что
(2.1.45)
есть абсолютная погрешность ,
а при формула
(2.1.46)
задает относительную погрешность .
Сходимость. Будем говорить, что последовательность векторов , , …, , … сходится к вектору , если
. (2.1.47)
Отметим, что вследствие приведенных выше свойств векторных норм сходимость в a -норме влечет сходимость в b -норме и наоборот.