Факторы, влияющие на величину коэффициента дмффузии

На величину коэффициента диффузии влияют:

1. Температура процесса. Обычно в достаточно широком интервале температур применима формула

, (3.14)

где характеризует среднюю энергию теплового движения атомов, а параметр - энергия активации диффузии – имеет смысл глубины потенциальной ямы или высоты барьера между ямами. Для всех примесей замещения, диффундирующих преимущественно по вакансионному механизму, величины E обычно различаются не слишком сильно: в Si, величина лежит в интервале от 2.6 эВ (для B) до 3.5 эВ (для Sb). Для примесей внедрения, диффундирующих по междуузлиям, интервал варьирования существенно расширен в сторону малых значений этого параметра и сильно зависит от эффективного размера атома (иона) диффундирующей примеси. Как правило, чем меньше этот размер, тем меньше Е. Величина предэкспоненциального множителя .

2. Концентрация диффундирующей примеси. Механизмы, определяющие эту зависимость, будут рассмотрены ниже.

3. Концентрация фоновой примеси. Концентрация фоновой примеси сказывается на концентрации вакансий, поэтому этот фактор проявляется в основном для примесей, диффундирующих по вакансионноиму механизму. В общем случае увеличение концентрации фоновой примеси увеличивает величину коэффициента диффузии, при этом обычно несколько уменьшается и величина .

4. Атмосфера, в которой ведется диффузия примеси. Для Si, наиболее сильно проявляется влияние кислорода. Кислород относится к числу быстродиффундирующих примесей и ускоряет диффузию ряда других примесей. Его роль будет рассмотрена позже.

5. Механические напряжения и сопутствующая им повышенная концентрация дислокаций. Вдоль дислокаций диффузия примеси идет во много раз быстрее, чем в бездефектном материале.

6. Ориентация кристалла. То, что этот фактор должен работать в случае неизотропных кристаллов, представляется достаточно очевидным. Однако его влияние проявляется и в таких кристаллах, как Ge и Si. В данном случае может сказываться роль дислокаций, имеющих некоторые предпочтительные направления в алмазоподобных решетках, и кислорода, всегда имеющегося в качестве фоновой примеси и также имеющего определенные предпочтительные конфигурации кластеров, в виде которых он преимущественно и находится в решетке Si. Этот аспект также будет рассматриваться позже.

В заключение этого раздела нужно заметить, что в большинстве учебных пособий справочные данные по коэффициентам диффузии обычно приводятся без указания конкретных условий, при которых проводились соответствующие эксперименты. Для одной и той же примеси данные разных источников могут различаться в несколько раз. Наиболее корректные данные по диффузии примесей в Si, по-видимому, приведены в двухтомнике С. Зи Технология СБИС.

В заключении следует упомянуть о параметре, широко обсуждаемом в литературе, посвященной ионному легированию полупроводников, а именно, о коэффициенте активности примеси. Мерой коэффициента активности является отношение числа доноров (или акцепторов) к общему числу находящихся в материале атомов соответствующей примеси. При диффузионном легировании коэффициент активности примеси обычно практически равен единице. Меньшие значения коэффициента активности обычно наблюдаются при концентрациях, близких к предельной растворимости. В данном случае, скорее всего, сказывается образование групп из нескольких соседствующих атомов, часть которых не является активными. Кроме того, примеси могут захватываться на разного типа дефекты и также становиться неактивными.

3.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

При высокой концентрации примеси, как в случае диффузии в условиях постоянной поверхностной концентрации, так и в случае диффузии из ограниченного источника, измеряемые профили распределения концентрации примеси отклоняются от рассчитанных согласно уравнениям (3.13). В большинстве случаев профиль распределения примеси в областях с высокой концентрацией может быть описан с помощью концентрационной зависимости коэффициента диффузии. Для определения концентрационной зависимости коэффициента диффузии из экспериментальных данных используют уравнение (3.5).

В этом раз деле, как и в предыдущем, процесс диффузии рассматривается при двух условиях: постоянной поверхностной концентрации диффузанта и постоянном общем числе атомов диффузанта.

Постоянная поверхностная концентрация. Уравнение (3.5)

(3.5)

представляет собой одномерное уравнение диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от концентрации диффузанта. В тех случаях, когда D зависит только от концентрации диффузанта N и поверхностная концентрация поддерживается на постоянном уровне, уравнение (3.5) может быть преобразованно в обычное дифференциальное уравнение с новой переменной

(3.15)

Тогда , , отсюда и .

Подставляем и во второй закон Фика (3.5):

(3.16)

Таким образом, как D, так и N зависят явным образом только от x.

Решения уравнений с новыми переменными в рассматриваемых ранее случаях будут выглядеть следующим образом.

3.3.1. Диффузия из одной полуограниченной области в другую

Пусть Распределение примеси имеет следующий вид (рис. 3.3):

Краевые условия для этого случая записываются в следующем виде:

Начальные условия:

при и любых , , а;

при и любых , , .

Ход вычислений становится более прозрачным, если временно ввести новую переменную . Тогда (3.16) перепишется в форме, соответствующей уравнению с разделяющимися переменными.

, (3.17)

которое можно записать в виде:

(3.18)

Интеграл этого выражения равен

(3.19)

или

(3.20)

Здесь C₁ и C₂ - это просто две разных записи для одной и той же постоянной интегрирования. Из (3.20) очередным интегрированием получается:

(3.21)

Произведена замена переменной , а множитель 2при C₂ включен в состав постоянной интегрирования С₄.

Оставшиеся постоянные интегрирования С₃ и С₄ нужно определять с учетом начальных и краевых условий. Рассмотрим значение интеграла, _, вычисляемого в пределах от u_o до + ∞.

Если , и , и, следовательно, С₃ =0.

Если , то

, а . (3.22)

Следовательно, .

Таким образом:

(3.23)

В анализировавшемся нами примере область, первоначально не содержавшая примеси, соответствовала положительным значениям аргумента. Если бы она приходилась на его отрицательные значения, то имело бы место соотношение .

Важно отметить, что , так что

.

Таким образом, профиль распределения примеси при диффузии из источника неограниченной мощности обычно записывают в форме

. (3.24)