Непрерывность и точки разрыва монотонной функции

Классификация точек разрыва

Определение непрерывности функции по Коши и по Гейне. Непрерывность и арифметические операции

Пусть определена на.

Определение 1. Говорят, что непрерывна в точке, если существует предел в этой точке и

.

Точка - это точка непрерывности функции, иначе называется разрывной в точке, а - точкой разрыва.

Определение 2 (непрерывности функции на основе определения предела функции по Коши). Говорят, что непрерывна в точке, если

, что для выполняется неравенство

.

Определение 3 (непрерывности функции на основе определения предела функции по Гейне). Говорят, что непрерывна в точке, если для, соответствующая последовательность значений функции.

Задание. Чем отличаются определения 2 и 3 от соответствующих определений предела функции по Коши и по Гейне?

Пример. Показать, что функция является непрерывной в любой точке.

Для доказательства воспользуемся определением 2. Покажем, что

в любой точке. Для этого проверим, что

, что для выполняется неравенство

.

Рассмотрим последнее неравенство подробно, стараясь решить его относительно и получить оценку для. Из свойств модуля вытекает:

,

Тогда как только, то и. Таким образом в качестве имеет смысл взять просто.

Теорема 1. Пусть функции и определены на, и и непрерывны в точке. Тогда в точке будут непрерывными функции

·;

·;

·;

·.

Пример. Доказать непрерывность функции в любой точке.

Поскольку, а функция является непрерывной в любой точке (предыдущий пример), то по теореме 1 также будет непрерывной в любой точке как произведение непрерывных функций.

Определение4. Функция имеет в точке устранимый разрыв, если в этой точке существуют оба односторонних предела функции и, но, или в точке функция вообще неопределена.

Пример. Функция имеет в точке устранимый разрыв (рис.1). Действительно,

, а.

Замечание 1. Если функция имеет в точке устранимый разрыв, то для того, чтобы сделать ее непрерывной в точке, достаточно или определить ее в этой точке, или изменить ее значение в так, чтобы

.

Так для функции из предыдущего примера достаточно положить, и тогда новая функция будет неперерывной в точке (рис.2).

Определение 5. Функция имеет в точке разрыв І рода, если в этой точке существуют оба односторонних предела функции, но. Говорят, что в точке функция претерпевает скачок, равный.

Пример. Функция, имеет разрыв І рода в точке (рис.3), поскольку, а скачок равен 2.

Определение 6. Функция имеет в точке разрыв ІІ рода, если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов функции.

Пример. Рассмотрим функцию. Эта функция определена везде, за исключением точки, т.е. - точка разрыва. Выясним, какой именно разрыв в этой точке. Для этого начнем с вычисления односторонних пределов.

.

Поскольку левосторонний предел не существует, то имеем в точке разрыв ІІ рода.

Теорема 2. Пусть функция определена и монотонна на. Тогда она может иметь разрывы только І рода. (без док-ва).

Определение 7. Промежутком называется замкнутый, открытый или полуоткрытый интервал (,,).

Теорема 3. Пусть функция определена и монотонна на. Если область значений этой функции является промежутком, то она непрерывная в каждой точке интервала. (без док-ва).

Действительно, монотонная на функция может быть или непрерывной в каждой точке (рис.4), или иметь разрывы І рода (рис.5). От этого и будет зависеть вид области значений.